Potentiaal satelliet rond aarde

Hanne stelde deze vraag op 19 mei 2016 om 22:25.

 Hoii, ik ben het even kwijt. Hoe bereken je ook alweer hoeveel energie er nodig is om een satelliet rond een stationaire baan om de aarde te laten bewegen? En hoe weet je hoe hoog die baan moet zijn? Je weet alleen welke omlooptijd hij heeft. Maar welke snelheid? 

Reacties

Theo de Klerk op 19 mei 2016 om 22:38
Je kunt alles uitrekenen door te weten dat
1) algemeen voor een cirkelbaan geldt dat de middelpuntzoekende kracht  F = m v2/r  is
2) alles rondom de aarde ondervindt als middelpuntzoekende kracht de zwaartekracht die de aarde uitoefent:  F = GMaardem/r2

Stel beide krachten aan elkaar gelijk (het zijn 2 uitdrukkingen die dezelfde kracht beschrijven) en je kunt van alles uitrekenen.
- de baansnelheid is  v = omtrek/omlooptijd  en omtrek is 2πrbaan
- er is geen energie nodig als een satelliet in een stabiele baan draait waarbij Fmpz = Fgravitatie   Dat kan dus op veel afstanden, maar de omloopstijd ligt dan wel vast.  (Kepler berekende dit al dat r3/T2 = GM/(4π2)   - in BINAS 35A4 staat deze formule fout!!!!!!)

Dus als je zijn omloopstijd T kent, dan kun je uit Kepler's wet ook r berekenen. Dit is wel tot het middelpunt van de aarde, dus voor de "hoogte" moet je de aardstraal eraftrekken!
Hanne op 19 mei 2016 om 22:44
Dankuwel voor de verheldering! Ja ik zag dat ook fout staan in Binas...echt raar. Maar ik bedoelde eigenlijk hoeveel energie er nodig is om de satelliet naar die baan te krijgen. Dus is die energie dan gelijk aan de toename van de gravitatie-energie of ook nog plus de toename van de kinetische-energie? 
Hanne op 19 mei 2016 om 22:50
want je vuurt een satelliet toch af met een bepaalde beginsnelheid eigenlijk..en in de baanstraal heeft hij ook een snelheid toch. Of hoe moet ik het zien. 
Theo de Klerk op 19 mei 2016 om 23:15
Ahhh... de energie nodig om van hoogte h = 0 (r=Raarde) naar hoogte h=hbaan (r = Raarde + hbaan) te krijgen is dan het potentiaalverschil.
Dat kan nu niet simpelweg als verschil in zwaarte-energie  m.g.Δh worden genomen want zwaartekrachtversnelling g = 9,81 m/s2 heeft die waarde alleen als je vlak bij het aardoppervlak blijft. Hoog in het heelal wordt die waarde kleiner (en voorbij Pluto zelfs verwaarloosbaar klein).

Voor de potentiaal (=energie/massaeenheid)  t.ov. een massa M op afstand r  kun je afleiden (zie je boek of formule BINAS 35A5 vwo balk) dat  U = - GM/r en daarmee de zwaarte energie voor een massa m op die plek Ezw = - GM/r . m
De potentiaal wordt negatief genomen omdat die 0 is gesteld in het oneindige.  Dus de energie die je nodig hebt is E = ΔU.m = GMm(1/Raardstraal - 1/(Raardstraal + h) )

Als je de hoogte oneindig maakt (weg naar de uithoek van het heelal) dan vind je de energie die nodig is om te "ontsnappen". Als je deze energie gelijk stelt aan de kinetische energie 1/2 mv2 kun je de ontsnappingssnelheid v berekenen  (voor de aarde ca 11,2 km/s)

Tot een bepaalde baanhoogte kun je op dezelfde manier berekenen met welke snelheid v je tot die hoogte kunt komen.
In een baan rond de aarde moet de satelliet ook een snelheid hebben: die volgt uit de Kepler wet: afstand r = R+h bekend, dan is omloopstijd T bekend en dus ook de baansnelheid v = 2πr/T 
Aangezien vanaf aarde de raket recht omhoog geschoten wordt, zal een stuurraket alsnog deze baansnelheid moeten geven. Anders valt de raket gewoon terug naar de aarde zoals een opgegooide bal die niet met ontsnappingssnelheid omhoog gegooid wordt...

hanne op 20 mei 2016 om 07:46
Huh maar welke vergelijking moet er worden opgelost. Ek begin plus Eg bezig is Eg eind of ook nog plus kinetische energie ? Want in principe zeg je niet echt dat een satelliet ij een baan rond de aarde kinetische energie heeft maar wel gravitatie energie
Theo de Klerk op 20 mei 2016 om 09:40

Elke combinatie van straal en tijd kan, zolang maar aan de wet van Kepler wordt voldaan: bij elke r hoort 1 specifieke T en wel  r3/T2 = GM/(4π2) met M= massa aarde indien rond de aarde word gedraaid.

Eenmaal r en T bekend, dan is de baansnelheid dit ook: v = 2πr/T

Voor beide punten bereken je domweg de zwaarte-energie via de zwaarte potentiaal (BINAS 35A5, vwo vak) (=energie/massa)
E = - GM/(R+h)  . m   (M=massa aarde, m = massa satelliet, R=straal aarde, h = hoogte tov aardoppervlak, eerst is h=0 en daarna de hoogte h=hbaan )
Het verschil ertussen is de energie die je op een of andere manier moet gebruiken om van hoogte R naar R+h te komen.
Porleif op 20 mei 2016 om 13:18
bEste Allen,

Kan ik uit deze formules opmaken dat er wordt uitgegaan van een gemiddelde valversnelling over een bepaalde hoogte?
Of is dit niet lineair?

Gegroet,

Porleif
Theo op 20 mei 2016 om 13:19
>Kan ik uit deze formules opmaken dat er wordt uitgegaan van een gemiddelde valversnelling over een bepaalde hoogte? Of is dit niet liniair?

De valversnelling is constant bij kleine hoogteverschillen (dan is g = GM/r2 bijna constant omdat r1 = R+h1 en r2 = R+h2 vrijwel gelijk zijn omdat hi << R zodat de berekende waarde van g in beide gevallen vrijwel gelijk is)
De valversnelling is niet lineair... die gaat met 1/r2 afnemen of toenemen. Dus omgekeerd kwadratisch.
Otto op 29 december 2020 om 22:49
Is dat wel een antwoord op de oorspronkelijke vraag? Met een katapult of slinger of kanon kom je niet in een baan die voldoende hoog boven de atmosfeer blijft. Je moet brandstof meenemen.
Als je per raket gaat dan moet er sowieso brandstof mee en elke toegevoegde kg brandstof eist meer brandstof etc.
Theo de Klerk op 29 december 2020 om 23:26
Je hebt brandstof of energie nodig om in een cirkelbaan om de aarde te komen.
Alle banen kosten energie om erin te blijven omdat je steeds moet afremmen of versnellen.

Op eentje na: een Keplerbaan. Daarbij is de aantrekking van de aarde zo groot dat het tempo waarin de satelliet valt gelijk is aan het wegbuigen van het aardoppervlak (vanwege de baansnelheid die steeds evenwijdig blijft aan het aardoppervlak). 

Dus ja, je hebt brandstof nodig om in die baan te komen vanaf het aardoppervlak, maar eenmaal erin kost het niks meer. De maan draait zo ook al eeuwen rond de aarde. In de praktijk zullen kleine koerscorrecties (en daarmee brandstof) wel nodig zijn omdat de aarde geen ideale homogene massabal is. Sommige delen van de aarde hebben meer massa dan andere (bergen versus zee) en dan is de zwaartekracht op de satelliet ook ietsjes anders waardoor van de ideale baan wordt afgeweken. 
Jaap Koole op 29 december 2020 om 23:41
Voor de (on)mogelijkheid om een satelliet naar een baan te schieten zonder brandstof onderweg, zij verwezen naar
https://en.wikipedia.org/wiki/Space_gun

Omdat nadere gegevens ontbreken in Hanne's vraagstelling, beperken we ons hier tot de minimaal benodigde energie, afgezien van het omhoog brengen van brandstof en oxidator, luchtweerstand enzovoort.

De minimaal benodigde energie bestaat uit de toename van de gravitatie-energie van het aardoppervlak naar de baan plus de kinetische energie in de baan. Hierbij hebben we de baanstraal nodig. Met een aangenomen omlooptijd van 5 uur geldt

De toename van de gravitatie-energie is

Uit gelijkstelling van de middelpuntzoekende kracht en de gravitatiekracht volgt

De toename van de kinetische energie van rust naar baan is

Minimaal is nodig 3,93⋅1010 J.

Plaats een reactie

+ Bijlage

Bevestig dat je geen robot bent door de volgende vraag te beantwoorden.

Ariane heeft negentien appels. Ze eet er eentje op. Hoeveel appels heeft Ariane nu over?

Antwoord: (vul een getal in)