1. waarom verschillen de formules voor het berekenen vd energieniveaus van een waterstofatoom resp. deeltje in een doos zoveel van elkaar?

Het flauwe antwoord is dat een doos nu eenmaal geen waterstof is... maar het echte  antwoord ligt er wel dicht tegenaan. Een (meestal oneindige) "doos" is niet een doos maar een situatie waar op posities x=0 en x=L ineens de potentiele energie oneindig hoog wordt. Op die afstand L "passen" dan alleen staande golven van het De Broglie type. Zoals er staande golven op een gitaarsnaar passen. En uit die De Broglie golven kun je dan de bijbehorende energie berekenen. De staande golven met n =1 ("grondtoon") en n=2,3,4,... hebben elk een energie en omdat E ~ n² liggen die niveau's steeds verder uiteen.

Het waterstofatoom is ook zo'n "doos" maar niet met rechte wanden. Naar mate je verder van de kern gaat wordt de toename van de potentiele energie kleiner (en stopt bij 13,6 eV ipv oneindig) en bovendien de grootte van de baan (de straal met lengte L) steeds groter.  Voor elke kleine vergroting van L neemt de potentiele energie minder toe (in theorie van min oneindig naar uiteindelijk 0). Het waterstof atoom is meer een doos-in-een-doos-in-een-doos-in-een-doos - de Russische baboesjka poppen die in elkaar passen. De binnenste doos heeft een kleine L en een groot potentiaalverschil met de bovenrand, de volgende een grotere L en kleiner potentiaalverschil enzovoort. De klassiek eerste "baan" heeft een L die met de Bohrse baan overeenkomt en nog een potentiaalverschil heeft van ca 13,6 eV. Daarboven/daaromheen komen nog bredere dozen en nog minder potentiaalverschil.

Hoe moet je een elektron voorstellen?

Goede vraag - dat weet volgens mij niemand. In elk geval is het geen klein pingpong balletje dat om zijn as draait en ook nog eens om een kern. Dat is een te klassiek beeld waarin we het heel kleine toch een vertrouwd beeld willen geven. En quantum mechanica wil nu juist aantonen dat in het heel kleine niets meer is wat je in het grote kunt voorstellen.
Het elektron is "iets", heel klein, met lading, met massa enz maar we weten niet precies waar het is en hoe snel het beweegt. Elke meting die we proberen te doen verstoort die meting ook (zoals een koude thermometer ook niet goed de temperatuur van een kop koffie kan meten, maar dan vele malen erger). Dus kwam De Broglie met het idee dat we voor elk (quantum-sized) deeltje ook een "golf" konden bedenken, Ψ (psi), die qua amplitude aangeeft hoe groot de kans is dat we een deeltje ergens aantreffen. Omdat een golf positief en negatief kan uitwijken, wordt voor de kans Ψ² gebruikt wat altijd positief is.
Zolang je niet meet kan het op elk van die posities zijn. (Zoiets als de loterij: zolang de trekking er niet is, heb je een kans te winnen). En als je meet (loterijtrekking) dan weet je ongeveer waar het zich bevindt (wel/niet gewonnen), maar ken je zijn impuls weer niet goed. De onzekerheidsrelatie van Heisenberg is hier de reden van.

We kunnen voor een gegeven atoomkern of doos wel de kans berekenen een elektron ergens aan te treffen. Voor de kleinste energie (n=1) is dat een bepaalde kansverdeling, voor n=2 een andere, voor n=3 weer een andere.
Voor al deze "toestanden" n (klassiek denken we aan "banen") blijkt de maximum kans te zijn op een positie in de kern. Maar die kans is in 3 dimensies evenredig met het (bolvormige) oppervlak op afstand r. In de kern is r =0 en dan kan de kans wel hoog zijn maar  hoge kans/m² x 0 m² = 0. Een beetje verder (kleine waarde van r) is er wel een kans: hoge kans/m² x klein oppervlak = kleine kans. De kans zal aanvankelijk toenemen als de afstand groter wordt, maar uiteindelijk naar 0 gaan als het boloppervlak wel groot wordt maar de kans/m² steeds kleiner en uiteindelijk  kans 0/m² x groot oppervlak = 0



En als je dan die kans (Ψ²) met het oppervlak 4πr² berekent voor allerlei afstanden r, dan vind je als "radiale waarschijnlijkheid" P(r) de onderstaande figuren voor Ψ en P voor verschillende n-waarden:

Hieruit zie je dat bij energie n=1 er een maximum kans is het elektron dicht bij de kern aan te treffen. En voor n=2 er twee intervallen zijn, maar de iets verder weg liggende afstand de meeste kans heeft. Zo kun je "wolken" rondom de kern denken waar de kans het grootst is het elektron te vinden. En de straal van die wolk komt overeen met de meer klassieke berekeningen (die op foute gronden toch nog een goed antwoord gaven):


Later vond men dat de "n" waarden (hoofd quantumgetal) niet voldoende waren om een elektrons positie te beschrijven. Naast energie was ook de baanimpuls (quantum getal L, niet verwarren met de dooslengte die ook L gebruikt) van belang (L = 0, 1, 2 ...  n-1) zodat naast de cirkelbanen voor L=0 ("s" toestand genoemd, naar de "sharp" spectraallijnen die de overgangen gaven) ook L=1 ("p" - peculiar) en L=2 ("d" - diffuse) toestanden mogelijk waren voor een elektron.
Voor n=1 kan alleen maar L=0, maar voor n=2 is er L=0 en L=1. Als je het periodiek systeem bekijkt zie je ook hoe telkens een nieuwe combinatie (n,L,m) gevuld wordt door meer elektronen waarbij m een derde quantumgetal is dat waarden -L+1, ...-1, 0, 1,...L-1 kan aannemen. De L=0 voor n=1,2,3... geven de "klassieke" cirkel/bolvormige "banen" . De andere L waarden geven haltervormige en vreemdvormige banen (zie BINAS 23).

>Waarom staat bij de een n² in de teller en bij de andere in de noemer?

Zonder helemaal in de oplossingen van de Schrödingervergelijkingen te verzanden (die zou ik voor mezelf ook weer moeten afstoffen) is het grote verschil dat

1) de "doos" een 1-dimensionaal model is met oneindig potentiaalwanden waarbinnen alleen De Brogliegolven passen die staande golven geven ( L = n. 1/2 λ = n . 1/2 h/p) waaruit uiteindelijk E ∝ n² volgt.

2) Het waterstofatoom is 3-dimensionaal en de Schrödingervergelijking ervoor ook. Bovendien is de potentiaalput niet oneindig maar door het elektrisch veld -1/r toenemend van min oneindig naar 0. De oplossingen van de vergelijking is een sinusgolf. Als hierop de randvoorwaarden van de potentiaal worden toegepast geeft dit uiteindelijk een E ∝ 1/n² relatie.

De bolvorm en randvoorwaarden van het waterstofatoom zorgen voor een 1/n² relatie ipv de platte 1 dimensionale oneindig hoge potentiaal die een n² relatie geeft.
Een waterstofatoom laat zich dus niet goed door een een dimensionale doos versimpelen.

(Voor wie wil doorgraven: http://users.aber.ac.uk/ruw/teach/237/hatom.php of https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom
- dat zal je op een vwo examen niet gevraagd worden)

>Bij een hoger kwantumgetal wordt mijn golflengte dus kleiner en passen er meer golflengtes in dezelfde straal? Klopt dit? In het geval van elektron als golf, zoals hierboven beschreven, hoe moet ik me dan de emissie van fotonen voorstellen bij één en dezelfde straal?

denkfoutje: een elektron heeft in 1 "baan" (bepaald door hoofdquantumgetal n) slechts 1 energie (E ∝ -1/n² , eigenlijk is het ΔE=|E-V|, het energieverschil tussen gebonden en vrij elektron als E>V, bij waterstof is dit als E>13,6 eV) en daarmee ook maar 1 golflengte die wel (volgens De Broglie, inmiddels door Schrödinger achterhaalt) moet "passen" op de baanstraal. Die straal wordt steeds groter, steeds grotere golflengten passen dan ook op die omtrek, de golflengte wordt groter, het energieverschil |E-V| met "vrij van het atoom" steeds kleiner. In de n=1 "baan" ("orbital") is de golflengte het kleinst en de impuls het grootst.

In een baan met bepaalde n waarde blijft de energie gelijk en wordt geen foton uitgestraald. Bij "springen" tussen banen wel omdat de energie verandert. Dat zien we ook in spectraallijnen. Hoe zo'n elektron een foton emiteert of absorbeert is onbekend. We weten alleen dat een foton de energie heeft. En wat een foton nu weer is... ook een raadsel. Het is geen lichtdeeltje, het is geen golf, het is ook "iets" abstracts waarmee we modellen kunnen opzetten en rekenen maar wat geen klassiek voorstelbare vorm heeft. Alles in het superkleine van de quantummechanica is niet in termen van klassieke voorwerpen voor te stellen en daarom heeft het een hoog hokus-pokus gehalte als je dat toch probeert.

Een vraag die ik heb is: waarom kan Ψ een negitief getal zijn terwijl het bestaat uit P (een positieve kans of 0) en vermenigvuldigd is met een (positief neem ik aan) oppervlak?

Ψ kan zowel positief als negatief zijn (tussen de randen van een potentiaalput is het sinusvormig en daarmee zowel positief als negatief. Daar is niks mis mee - er zijn zoveel dingen in de natuurkunde positief of negatief, afhankelijk van waar je de nullijn legt).
Het is het kwadraat ψ² dat als kans wordt gezien een deeltje op een positie x aan te treffen. Een kwadraat is altijd nul of positief.
Het totale oppervlak onder de Ψ² curve wordt genormaliseerd op 1 (een deeltje moet "ergens" zijn)

Dit staat trouwens ook al in het 2e antwoord:
"Omdat een golf positief en negatief kan uitwijken, wordt voor de kans Ψ² gebruikt wat altijd positief is."

Klopt mijn beeld dat die -13,6 eV het verschil in totale energie (pot+kin) van een gebonden elektron in de grondtoestand en een (langzaam) vrij elektron is;

waarbij de (negatieve) potentiele energie van het elektron in het elektrisch veld van de kern (het proton) evenredig is met 1/r (voor r=0 is Epot dus min oneindig).

>Klopt mijn beeld dat die -13,6 eV het verschil in totale energie (pot+kin) van een gebonden elektron in de grondtoestand en een (langzaam) vrij elektron is

Ja - als je net 13,6 eV toevoert aan het elektron in het waterstofatoom dan heeft het nieuwe potentiele energie 0 J.  Feitelijk is de potentiele energie (inderdaad ∝ 1/r) volgens afspraak pas 0 bij oneindig maar 13,6 eV is genoeg om het elektron in zijn oorspronkelijke n=1 baan de "ontsnappingssnelheid" te geven die in het oneindige dan op snelheid 0 m/s en kinetische energie 0 J uitkomt.
Een pietsie meer dan 13,6 eV en het heeft na verlaten van het atoom ook nog een kinetische energie over om weg te snellen - zoals raketten bij voldoende energie de ontsnappingssnelheid van de aarde kunnen overtreffen en richting Pluto kunnen gaan.