De tweelingparadox is wat een paradox is: het lijkt niet te kunnen en toch is het zo omdat er een reden is waarom de paradox "fout" is en geen paradox meer. Wat vergeten wordt is dat allereerst versneld wordt om op snelheid te komen en dat om terug te komen hij aan het uiteinde van de rit moet omdraaien. Dat is een vertraging en daarna weer een versnelling of bij een "rondje om de planeet" een middelpuntzoekende versnelling. Maar wat dan ook: het is geen vaste snelheid in een niet wijzigende richting.  Tijdens dat omkeren wijzigt de persoon (oneindig) vaak van inertiaalstelsels die ieder wel een vaste richting hebben, domweg omdat hij omdraait. Hij stapt als het ware steeds over en verandert ook van bijbehorende kloktijd. Bij terugkomst uiteindelijk loopt zijn klok dan ook daadwerkelijk achter omdat dat niet hetzelfde inertiaalsysteem met klok is als waarmee hij vertrokken is.

En wat die link betreft: ik heb dat niet doorgelezen, maar teksten waarin cosh functies voorkomen zijn nauwelijks voor leken leesbaar. En als je dat wel snapt, kun je net zo goed meteen een (goed) boek over (speciale) relativiteitstheorie gaan lezen.

Is niet het punt dat de tweelingparadox helemaal geen paradox is? Beide weten prima wie op reis is gegaan en wie thuis is gebleven omdat de 1 wel en de ander geen (extra) versnelling heeft waargenomen. Een verklaring vanuit de SR is dan ook niet nodig, Het wordt helemaal, afdoende en helder verklaard door de algemene relativiteitstheorie. Is het niet het paard achter de wagen om dit binnen SR te willen verklaren, terwijl de algemenere theorie hier al direct mee afrekent?

In de wetenschap geldt het adagium, dat als je iets op een eenvoudige manier kunt verklaren moet je het niet op een ingewikkelde manier doen. De SR is eenvoudig vergeleken met de AR. Op

https://nl.wikipedia.org/wiki/Tweelingparadox

wordt gesuggereerd dat de Tweelingparadox (TP) volledig verklaard kan worden vanuit de SR. Maar mijn vraag blijft of dat echt zo is. Als je uitgaat van versnellingen en vertragingen heb je uiteraard de AR nodig. Maar je zou, puur theoretisch, ook uit kunnen gaan van een plotseling vertrek, waarbij de niet veranderende snelheid van reizen meteen al gegeven is, en een plotselinge terugkeer net zoals een lichtstraal terugkaatst van een spiegel. De vraag is of de verklaring dan ook gaat met SR. Een plotseling vertrek en een plotselinge terugkeer kan in de praktijk heel goed door bij vertrek een aanloop te nemen en bij terugkeer vanaf het keerpunt een afloop te nemen, vervolgens om te draaien en daarna weer een aanloop te nemen. De aanloop in het begin en de aan- en afloop bij het keerpuint tel je dan gewoon niet mee.

Direct meer eens Ad, SR is eenvoudiger dan AR. Net zo als het atoommodel van Rutherford eenvoudiger is dan een quantummechanische beschrijving. Wat is echter vollediger? Ik beschouw elke poging om de tweeling paradox zonder AR te verklaren dan ook als niet meer dan spielerei.
Al is een verklaring via SR, getuige deze discussie, al duidelijk niet zo eenvoudig vanwege de gekunstelde manier van beschouwen. De aanpak via een aanloop doet mij sterk denken aan Achilles en de pijl.

>De aanloop in het begin en de aan- en afloop bij het keerpuint tel je dan gewoon niet mee

Dat mag wellicht als iets onbelangrijk is, maar hier is het juist cruxiaal. Het is nu alsof ik met 100 euro op straat loop, beroofd word en met niks achterblijf en we zeggen "die ene minuut van beroving knippen we eruit want die is niet belangrijk (in die 5 uur die we wel beschouwen)". Maar die 100 euro is wel "weg". De paradox van Wonderbaarlijke Geldverdwijning.

Op

https://nl.wikipedia.org/wiki/Tweelingparadox

wordt gesuggereerd dat de Tweelingparadox (TP) volledig verklaard kan worden vanuit de SR. Moet daar dan niet iets aangedaan worden?

Waar het mij vooral omgaat is te begrijpen hoe het wiskundig in elkaar zit. Nu heb je voor de AR tensorrekening nodig en daar ben ik helemaal niet in thuis. Ik ben wel vertrouwd met matrixalgebra. Mijn vraag is kun je het wiskundig uitleggen zonder tensorrekening?

Er zijn algebra-gebaseerde natuurkundeboeken die met enig wringen proberen uit te leggen wat alleen maar goed via integraalrekening (calculus) te berekenen valt. Maar dat wordt te moeilijk gedacht. Met de SR en AR is het niet anders. De paradox bestond in de SR tijd en leek vreemd. Pas met de AR kon er een goede oplossing voor worden gegeven omdat AR uitgaat van versnellende referentiestelsels waar de paradox geen paradox is maar zo logisch als 1+1=2 (bij scalaire optelling). Die logica heeft ingewikkelder wiskunde met vectoren in x,y,z,t richting waarvan elke component afhankelijk is van niet alleen hun eigen richting zoals x, maar ook van de andere richtingen y,z,t. En dan worden het tensoren. Ook niet moeilijk als je het eenmaal snapt. Maar voor Cruijff en 98% van de mensheid een brug te ver. Die moeten dan maar "op gezag" aannemen dat AR de puzzel oplost en deze niet goed door SR wordt opgelost. 

Geachte Theo de Klerk,

Heel hartelijhk dank voor uw interessante antwoord. U schrijft:

"Ook niet moeilijk als je het eenmaal snapt."

Ja, ik heb inmiddels ook begrepen en ondervonden, dat alles wat door mensen bedacht is en ook logisch uiteindelijk ook eenvoudig is als je het eenmaal begrepen hebt.

Nu gaat het allemaal over relativiteit, maar als de op reis geweest zijnde broer terugkeert en bij zijn thuis gebleven broer aankomt zal er volgens de AR toch een verschil tussen hen zijn in ouderdom en dat is NIET relatief.

Voorlopig blijft het daarom voor mij niet te bevatten.

Verder is er nog iets anders en dat is het volgende. Ik heb jaren lang aan studenten college gegeven in statistiek en kansrekening en ik heb daarbij gemerkt, dat alles wat je eenmaal begrepen hebt ook aan ieder ander volledig kunt uitleggen met weglating van de wiskunde. Ik blijf het zeer vreemd vinden, dat ik tot nu toe nergens, ook niet op Internet, een dergelijke uitleg heb kunnen vinden waar het de tweelingparadox betreft.

> Ik heb jaren lang aan studenten college gegeven in statistiek en kansrekening en ik heb daarbij gemerkt, dat alles wat je eenmaal begrepen hebt ook aan ieder ander volledig kunt uitleggen met weglating van de wiskunde.

Mag ik dat als onzin betitelen? Ja, zonder wiskunde kun je een mate van acceptatie krijgen, een soort begrip dat dingen zijn zoals ze zijn. Maar als het om massa-toename gaat, als het om tijdsverandering gaat dan is dat begrip niet zonder de wiskunde erbij te snappen. Als men de massa-formule accepteert, dan is duidelijk dat massa toeneemt (of tijd langzamer loopt) maar dat is uitgaan van een berekend antwoord via wiskunde die ver boven de pet gaat.
Verder is er helemaal niks "relatief" aan de tweelingparadox ook al komt het uit de relativiteitstheorie. Relatief is alleen datgene wat vergeleken wordt tussen coordinatenstelsels die zich gelijk gedragen. De wegreizende persoon heeft een ander stelsel (eentje dat versnelt, vertraagt, omdraait) tov de achterblijvende helft ("stilstaand" stelsel) en dat de antwoorden dan anders zijn is niet zo gek.  Het is niet te vergelijken met de muon-regen op aarde waar het muon vindt dat de weg die het aflegt klein is (lengte contractie, normale tijd) voor het vervalt terwijl een buitenstaander vindt dat de tijd veel langzamer loopt (tijddilatatie) bij het muon en daarom zo'n grote (normale) afstand kan afleggen.  Beiden zijn het eens over wat gebeurt (relatief tov elkaar) maar oneens over wat de oorzaak is: trage tijd of korte afstand.

Ik zou de relativiteitstheorie in zijn essentie maar overlaten aan de fysici die in dit vakgebied bezig zijn. De amateurs, jij en ik, snappen hooguit de grote lijn - mede door een aantal ingewikkelder zaken - als wiskundige uitkomst te aanvaarden.

Ik snap wel dat de situatie voor elke helft van de tweeling anders, dus niet symmetrisch is.
De één ervaart wél acceleratie tijdens het omkeringsproces (ook als ik uit ga van een bocht, waarin de snelheid gelijk blijft, dat is eenvoudiger dan afremmen naar snelheid 0 en dan weer optrekken), de ander niet.
Het verschil in leeftijd zou dan door de G-kracht tijdens het maken van de bocht ontstaan, of als ik dat niet juist geformuleerd heb in ieder geval door de asymmetrie in acceleratie tussen de één en de ander.  Desnoods voeg je ook nog het verschil toe van de acceleratie bij de lancering tot de gewenste hoge snelheid is bereikt en de decelleratie bij de terugkeer, die de thuisblijver ook niet ervaart. Kan ik volgen, asymmetrie genoeg.
Waar het bij mij spaak loopt, is dat het verschil in leeftijd dan volgens mij hetzelfde zou moeten zijn, ongeacht hoe lang je met hoge snelheid (zonder acceleratie) onderweg bent geweest.
Als ik het goed begrijp maakt het wel degelijk uit of je tussen het acceleren en omdraaien één minuut de constante hoge snelheid aanhoudt, of tien jaar.
Wat als beide helften van de tweeling tegelijk onderweg gaan, en dezelfde acceleraties ondervinden (start, omkeren, landing), maar de één draait na het bereiken van de hoge snelheid na één minuut om, en de ander pas na tien jaar op de hoge snelheid te hebben doorgevlogen, ontstaat er dan toch een verschil in leeftijd, kennelijk dus onafhankelijk van de symmetrische acceleraties?

> De één ervaart wél acceleratie tijdens het omkeringsproces (ook als ik uit ga van een bocht, waarin de snelheid gelijk blijft, dat is eenvoudiger dan afremmen naar snelheid 0 en dan weer optrekken), de ander niet.

Snelheid is een vector met grootte en richting. Ook al blijft de grootte hetzelfde, de richting verandert voortdurend bij het omdraaien. Daarom is er altijd een (middelpuntzoekende) kracht die een voorwerp in een bocht laat draaien. Het voorwerp zelf (dat zonder kracht rechtuit zou bewegen) ervaart deze kracht als een middelpuntvliedende of centrifugale kracht. In beide "referentiestelsels" is er een kracht.

Er is geen asymmetrie in versnelling. De ene tweelinghelft versnelt niet (staat stil of beweegt eenparig), de andere helft is degene die versnelt. Eerst om weg te komen, daarna om om te draaien en uiteindelijk te stoppen. En daarmee buiten de speciale relativiteitstheorie valt en in de algemene terecht komt. In de stukken waarin hij wel met vaste hoge snelheid beweegt tikt zijn klok langzamer (in het frame van de thuisblijver) en komt hij jonger dan zijn broer/zus terug.

Als beiden gezamelijk op pad gaan en precies hetzelfde doen dan blijven we even oud (al zal hun thuisblijvende moeder wel vinden dat ze jong gebleven zijn). Zo gauw ze toch afzonderlijke dingen doen in beweging zullen hun klokken (vanuit de ander gezien) zich anders gedragen en de een een andere leeftijd krijgen dan de ander.

@Theo de Klerk. 
Ik geloof niet dat ik ontken dat er in een bocht een kracht is, alleen stel ik vast dat de ene helft van de tweeling (die op reis is) die wel ervaart, en de andere helft (die thuisblijft) niet, simpelweg omdat die niet omdraait.  
Als de ene helft van de tweeling geen versnellingen ondergaat, en de andere helft wel, lijkt mij dat een asymmetrie in de als zodanig ervaren versnellingen. Wat ik niet begrijp is dat het verschil in leeftijd wordt 'verklaard' door dit verschil in versnellingen. 
U doet dat zelf ook, althans suggereert dat de oplossing van de paradox in de acceleratieverschillen moeten worden gezocht, zie uw eerste reactie op 5 januari:"Wat vergeten wordt is dat allereerst versneld wordt (etc.)".
Ik vind de verklaring van de paradox door deze te wijten aan de verschillen in versnelling onbegrijpelijk, wat ik probeer te onderbouwen door in mijn voorbeeld beide helften dezelfde versnellingen te laten ondergaan, terwijl hun leeftijd toch zal veranderen. 
Volgens mij moet de paradox te verklaren zónder de verschillen in acceleratie erbij te betrekken. 
Alleen heb ik nog geen voor niet-mathematici begrijpelijke verklaring kunnen vinden. 

Om nog even terug te komen op de oorspronkelijke vraag:
Of die verklaring wiskundig juist is, daar waag ik mij niet aan, dat valt buiten mijn competentie. 
Wat ik wel kan zeggen is dat de begeleidende tekst bij een wiskundige uitleg in ieder geval begrijpelijk moet zijn
En als ik dan bijvoorbeeld lees:"De tijd die de tweeling op reis gebruikt voor de heenreis, maar zoals die tijd geldt voor de tweeling die thuis blijft noemen we T. Daaruit volgt, dat de afstand die de tweeling op reis aflegt tijdens de heenreis, maar zoals die tijd geldt voor de tweeling die thuis blijft, gelijk is aan vT", dan moet ik helaas concluderen dat daar geen brood van te bakken is. 

>Wat ik niet begrijp is dat het verschil in leeftijd wordt 'verklaard' door dit verschil in versnellingen.

Er is geen verschil in versnellingen want een partij heeft helemaal geen versnelling. Tenzij a = 0 ook als versnelling wordt gerekend: dan ja, alles is uiteindelijk terug te leiden op het feit dat de ander wel een versnelling ondergaat.

Ik ben recent getipt voor een boekje over relativiteit door een ex-sterrenkundestudent: zie www.einsteingenootschap.nl voor "op het spoor van de tijd". Of het goed, slecht of fout is... geen idee want ik ken het boekje nog niet.

Ik heb de link naar het boekje van meneer Dorrestijn even gevolgd, maar iemand die meent in twee regels de Lorentz-contractie naar het Rijk der Fabelen te kunnen verwijzen en daar ook nog de mening van Robbert Dijkgraaf over wil hebben, kan ik toch niet serieus nemen. 
Overigens was ik die Dorrestijn al eens eerder tegengekomen, zie de link hieronder. 
Geeft ook geen beste indruk... 
. 
Http://www.astroblogs.nl/2012/10/27/het-imago-van-de-relativiteitstheorie-blijft-nog-wel-even-zo/

Fransamsterdam

Je schrijft:

"Ik heb de link naar het boekje van meneer Dorrestijn even gevolgd, maar iemand die meent in twee regels de Lorentz-contractie naar het Rijk der Fabelen te kunnen verwijzen en daar ook nog de mening van Robbert Dijkgraaf over wil hebben, kan ik toch niet serieus nemen."

Dit is NIET de manier waarop we in de wetenschap argumenten vóór of tegen geven. Alleen inhoudelijke argumenten gelden.

In de tijd van Galilei zei de kerk: "De zon draait om de aarde." en Galilei zei: "De aarde draait om de zon."

Galilei had zelfs maar één regel nodiog.

Maar ook Galilei had geen gelijk. "De zon en de aarde draaien om een gemeenschappelijk zwaartepunt."

Ook maar één regel.

De formules voor eigentijd en eigenlengte kunnen rechtstreks wiskundig worden afgeleid uit de formule voor de Lorentztransformatie:

http://www.socsci.ru.nl/~advdv/TimeDilatationFinal.pdf
en

http://www.socsci.ru.nl/~advdv/LengthContractionFinal.pdf

Als lengtecontractie in de werkelijkheid niet bestaat, dan moet dus ook getwijfeld worden aan de Lorentztransformatie en daarmee ook aan de speciale relativiteitstheorie van Einstein. Overigens, de Lorentztransformatie is niet door Einstein bedacht. Hij heeft alleen maar laten zien, dat het niet nodig is een ether te veronderstellen om de Lorentztransformatie aannemelijk te maken. Het enige, dat je maar hoeft te veronderstellen, is, dat niet alles relatief is, namelijk de lichtsnelheid, die is niet relatief.

Aardig filmpje voor meneer Dorrestijn : 
 https://youtu.be/XBwGuHjwHPk