Analyse van de relatieve beweging: snelheid
G. stelde deze vraag op 29 december 2015 om 16:19. Beste allemaal,
Ik heb heb een vraag over het volgende voorbeeld.
Hoe komen ze bij de snelheidsvergelijking bij het veranderen van de i naar de cosinus en de j naar de sinus. Ook vraag ik mij hierbij af hoe de plusjes en minnetjes zich gedragen.
Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.
Bijlagen:
Reacties
Jan van de Velde
op
29 december 2015 om 17:35
dag G.L.
voor vectorwiskunde moet je niet bij mij zijn, maar ik zie in je afbeeldingen nergens sprake van sinussen of cosinussen, en je twee afbeeldingen lijken geen directe relatie met elkaar te hebben (de ene foto heeft betrekking op fig 5.13a, de andere op fig 5.15.)
Juiste afbeeldingen geüpload?
groet, Jan
voor vectorwiskunde moet je niet bij mij zijn, maar ik zie in je afbeeldingen nergens sprake van sinussen of cosinussen, en je twee afbeeldingen lijken geen directe relatie met elkaar te hebben (de ene foto heeft betrekking op fig 5.13a, de andere op fig 5.15.)
Juiste afbeeldingen geüpload?
groet, Jan
G.L.
op
29 december 2015 om 17:47
Beste Jan,
Bedankt voor het opmerken, inderdaad de verkeerde afbeeldingen geplaats. De afbeeldingen moeten deze zijn:
Groet,
G.L.
Bedankt voor het opmerken, inderdaad de verkeerde afbeeldingen geplaats. De afbeeldingen moeten deze zijn:
Groet,
G.L.
Bijlagen:
Theo de Klerk
op
29 december 2015 om 19:22
Dit probleem uit Hibbler's "Dynamics" boek (Amerikaanse editie hfd 16 voorbeeld 16.6) gaat iets verder dan middelbare schoolwerk. Hier worden 2 referentie-stelsels gebruikt. Een "vaste" XY frame (met als eenheden de eenheidsvector i langs de X-as en vector j langs de Y-as) waarin je de staaf ABC ziet bewegen en een stelsel dat ook in de XY-richting gefixeerd is maar vast zit aan A. Aangezien A naar beneden beweegt moet van daaruit gezien B wel omhoog bewegen (langs de j-as).
In het verhaal eerder in het hoofdstuk is afgeleid dat voor een stelsel dat op A vastzit (en waar rB/A voorstelt de afstand r van B t.o.v. A) geldt dat de lineaire vectorsnelheid van B in zijn (x,y) of (i,j) componenten kan worden geschreven als
vB = vBx . i + vBy . j
en bovendien dat
vB = vA + ω x rB/A
Daarin is ω de draaihoeksnelheid van de staaf ABC. En zoals een lineaire snelheid v een vector is (in x,y,z of i,j,k richting) zo is een draaihoeksnelheid dat ook, maar dan staat de vector loodrecht op het draaivlak (bepaald met de "kurkentrekker" of rechterhandregel: draaiing tegen de klok in betekent een vector uit het vlak naar voren, anders uit het vlak naar achteren, in elk geval in de Z (of k) richting als het draaivlak voor x,y (of i,j) wordt opgespannen).
Omdat B alleen maar langs de i-richting kan bewegen (in het "stilstaande" stelsel) kun je kijken naar de vB,x = i vBx component langs de x-as gemeten in aantallen i-eenheden (lengte "1" langs de x-as is de lengte van de i-vector).
Het uitwendige vectorproduct ω x r = ω x (ri,rj,rk) levert alleen maar wat op voor de i en j richting van r want ω x rk = 0 omdat het twee evenwijdige vector(componenten) zijn waarvoor het uitwendig product per definitie 0 is.
Dus kun je de vBx grootte schrijven zoals de uitwerking al suggereert:
vA beweegt langs de Y-as naar beneden met snelheid vAy = 2 m/s dus de Y-component (de enige, alle andere componenten zijn 0) ervan
vA = vAy = - j . 2 = - 2j
Het minteken komt erbij omdat de snelheid naar beneden is en in de richting van de negatieve Y-as ofwel met de j-eenheidsvector naar beneden.
Voor het uitproduct van ω x rB/A weet je dat ω alleen langs de Z-richting staat (positief, +k.ω) en de X en Y componenten van rB/A langs de i- en j-richting staan.
Bij 45 graden is de rx lengte gelijk aan de ry lengte, en resp AB sin φ en AB cos φ ofwel 0,2 sin 45 en 0,2 cos 45.
De rx component beweegt langs de positieve X-as, dus i . 0,2 sin 45 terwijl de ry naar beneden beweegt, dus -j . 0,2 cos 45
Als je dan e.e.a. invult zie je dat de hoeksnelheid in grootte 14,1 rad/s is en de vB snelheid 2 m/s is langs de positieve x-as (en vB langs de Y-as nul is).
Niet vergeten daarbij dat k x i = j en k x j = -i bij uitwendig vectorproduct van de eenheidsvectoren).
In het verhaal eerder in het hoofdstuk is afgeleid dat voor een stelsel dat op A vastzit (en waar rB/A voorstelt de afstand r van B t.o.v. A) geldt dat de lineaire vectorsnelheid van B in zijn (x,y) of (i,j) componenten kan worden geschreven als
vB = vBx . i + vBy . j
en bovendien dat
vB = vA + ω x rB/A
Daarin is ω de draaihoeksnelheid van de staaf ABC. En zoals een lineaire snelheid v een vector is (in x,y,z of i,j,k richting) zo is een draaihoeksnelheid dat ook, maar dan staat de vector loodrecht op het draaivlak (bepaald met de "kurkentrekker" of rechterhandregel: draaiing tegen de klok in betekent een vector uit het vlak naar voren, anders uit het vlak naar achteren, in elk geval in de Z (of k) richting als het draaivlak voor x,y (of i,j) wordt opgespannen).
Omdat B alleen maar langs de i-richting kan bewegen (in het "stilstaande" stelsel) kun je kijken naar de vB,x = i vBx component langs de x-as gemeten in aantallen i-eenheden (lengte "1" langs de x-as is de lengte van de i-vector).
Het uitwendige vectorproduct ω x r = ω x (ri,rj,rk) levert alleen maar wat op voor de i en j richting van r want ω x rk = 0 omdat het twee evenwijdige vector(componenten) zijn waarvoor het uitwendig product per definitie 0 is.
Dus kun je de vBx grootte schrijven zoals de uitwerking al suggereert:
vA beweegt langs de Y-as naar beneden met snelheid vAy = 2 m/s dus de Y-component (de enige, alle andere componenten zijn 0) ervan
vA = vAy = - j . 2 = - 2j
Het minteken komt erbij omdat de snelheid naar beneden is en in de richting van de negatieve Y-as ofwel met de j-eenheidsvector naar beneden.
Voor het uitproduct van ω x rB/A weet je dat ω alleen langs de Z-richting staat (positief, +k.ω) en de X en Y componenten van rB/A langs de i- en j-richting staan.
Bij 45 graden is de rx lengte gelijk aan de ry lengte, en resp AB sin φ en AB cos φ ofwel 0,2 sin 45 en 0,2 cos 45.
De rx component beweegt langs de positieve X-as, dus i . 0,2 sin 45 terwijl de ry naar beneden beweegt, dus -j . 0,2 cos 45
Als je dan e.e.a. invult zie je dat de hoeksnelheid in grootte 14,1 rad/s is en de vB snelheid 2 m/s is langs de positieve x-as (en vB langs de Y-as nul is).
Niet vergeten daarbij dat k x i = j en k x j = -i bij uitwendig vectorproduct van de eenheidsvectoren).
Bijlagen:
G.L.
op
02 januari 2016 om 15:06
Top! Dankjewel Theo, dit heeft mij erg geholpen.
Met vriendelijke groet,
G.L.
Met vriendelijke groet,
G.L.
