Voor details over vectorrekening zou ik een goed boek over dit onderwerp aanraden (of Khan Academy fimpjes).

Het inwendige product van 2 vectoren is een scalar (getal) met als grootte  ab cos φ als φ de hoek is tussen beide vectoren. In je voorbeeld dus inderdaad vectoren met lengtes 10 en 12 en een hoek van 60 graden, dus  10 x 12 x cos 60 = 10 x 12 x 0,5 = 60

De cosinus geeft aan dat de ene vector a wordt ontbonden in twee componenten: eentje evenwijdig aan de andere vector (met als componentgrootte a cos φ) en eentje loodrecht.  Alleen de evenwijdige component geeft een bijdrage in de vermenigvuldiging. Bekendste natuurkundevoorbeeld is arbeid (een scalar in joules):

W = F.s = |F|.|s| cosφ  - er wordt alleen arbeid verricht in zoverre de kracht in de richting van de verplaatsing werkt. Reden waarom de aarde geen arbeid verricht terwijl het rond de zon draait. De gravitatiekracht (richting zon) staat loodrecht op de verplaatsing langs de baan. Maar een massa schuin de helling opduwen kost wel arbeid: de zwaartekracht F heeft een component Fcosφ langs de helling waarover een afstand s wordt geduwd.

Dimensioneel verandert een in- of uitwendig product niets. De dimensies van de vermenigvuldigde vectoren blijft behouden. Bij de arbeid (joules) is dat ook zo:  F in N,  s in m, tezamen in Nm oftewel joules. Bij een inwendig product gaat alleen de richtingszin van beide vectoren "verloren".

Als een uitwendig product nul is betekent het precies dat: nul. Nada. Niks. Twee vectoren loodrecht op elkaar zoals bijv. magnetisch veld B en snelheid v van een geladen deeltje met lading q (scalar) resulteren in een Lorentzkracht die loodrecht staat op het vlak opgespannen door B en v . En is zelf ook een vector: F.  De relatie is  F = qv x B.  Mocht het deeltje zich bewegen in de richting van het magneetveld (v en B evenwijdig) dan is er geen lorentzkracht: |F| = qvB sinφ = qvB . 0 = 0

Een uitwendig product van twee natuurkundige vectoren betekent dat die twee vectoren samen aanleiding geven tot een derde vector. Deze geeft een grootheid aan die ook een grootte en een richting heeft (of omwentelingszin). In tegenstelling tot een inwendig product waarbij twee vectorgrootheden aanleiding geven tot iets dat wel een grootte maar geen richting heeft.

(Wijdverbreid misverstand bij Lorentzkrachten op stroomdraden: de stroomsterkte I is een scalar, geen vector. Stroomsterkte heeft geen richting zo min als massa of lading dat heeft. De Lorentzkracht ontstaat doordat lading van de stroom zich in de richting van de draad verplaatst. Het is dan ook F = I L x B )