dag Mirte,

even voor de goede orde, je kaart hier een eenparig VERSNELDE rechtlijnige beweging aan. 

 

Laten we even kijken naar een iets eenvoudiger formule:

$$ s_t = \overline{v} \cdot t $$

afgelegde weg op het tijdstip t is gelijk aan de gemiddelde snelheid maal de tijd. Tekenen we eens een v/t diagram voor een voertuig dat met constante snelheid van 8 m/s beweegt . Heel saai grafiekje hoor, 

om de afgelegde weg, v·t, te bepalen kunnen we integreren, doen we hier even grafisch, dwz de oppervlakte bepalen tussen de grafiek en de tijdsas, bijvoorbeeld voor een tijd van 20 seconden.

Elk hokje heeft een oppervlakte van lengte x breedte = 2 m/s x 5 s = 10 m (denk erom dat 2/3 x 3 gelijk is aan 2, dus m/s x s = m)

hokjes tellen, 16 stuks, maal 10 m geeft 160 m. Of ook directer, lengte x breedte = 8 m/s x 20 s = 160 m.

Dus in 20 s kan ons voertuig 160 m afleggen. 

Gaan we nou eens even kijken wat er gebeurt als ons voertuig eenparig versnelt, met een versnelling van 0,4 m/s², dwz dat de snelheid elke seonde met 0,4 m/s toeneemt. 

Twee dingen vallen op. Nu na 20 seconden de snelheid gelijk is aan de snelheid in het eerste diagram, is de oppervlakte tussen grafiek en tijdsas maar de helft meer van wat hij daar was. We leggen dus in dezelfde tijd maar de helft van de afstand af. Ja duhh, de eindsnelheid was wel gelijk, maar de gemiddelde snelheid was in die 20 seconden maar de helft van die eindsnelheid. 

Eindsnelheid is versnelling maal tijd

$$ v_t = a \cdot t $$

maar we kunnen helemaal geen afstanden berekenen op basis van eindsnelheid, daarvoor hebben we een gemiddelde snelheid nodig. We zagen al dat (bij die beginsnelheid 0) de gemiddelde snelheid de helft is van die eindsnelheid: 

$$ \overline{v} = \frac{1}{2} v_t $$

 maar dat betekent dus:

$$ \overline{v} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t $$

oftewel, gemiddelde snelheid is de helft van de versnelling maal de tijd. Combineren we dat nou met onze allereerste formule, s_t=v·t dan blijkt:

$$ s_t = \overline{v} \cdot t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t \cdot t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 $$

let op, dat geldt alleen als de beginsnelheid 0 is, en de beginafgelegde weg óók 0 is.

Maar is nou wél duidelijk waar dat halfje en dat kwadraatje vandaan komen?

Groet, Jan 

 

 

 

Heel leuk en beeldend uitgelegd!

en voor wie kan integreren:

a = a
v = ∫ a dt = at + v₀
s = ∫ v dt = ∫ at dt = 1/2 at² + v₀t + s₀

Aanvullende opmerking: bij de integratie van de versnelling heeft de integratieconstante de waarde v(0), dus de snelheid op tijdstip t = 0. Bij de integratie van de snelheid heeft de integratieconstante de waarde s(0), dus de afstand op tijdstip t = 0.