De normaalkracht is ALTIJD de kracht loodrecht op het vlak dat de kracht produceert als helft van een actie/reactiepaar.

In dit geval dus loodrecht op een parabolisch gevormde baan.

Wat is het vlak in elk willekeurig punt van een parabolische baan die door y(x) wordt weergegeven? Inderdaad - de raaklijn. Met als hoek  dy/dx  ofwel de afgeleide van de paraboolfunctie. De normaal staat hier loodrecht op... Uit beide gegevens is dan ook de component van de zwaartekracht evenwijdig aan de normaal te bepalen. Dat kan de cos of sin zijn - afhankelijk van welke hoek je neemt om daar de cos of sin van te nemen...

Theo de Klerk, 22 feb 2013

De normaalkracht is ALTIJD de kracht loodrecht op het vlak dat de kracht produceert als helft van een actie/reactiepaar.

In dit geval dus loodrecht op een parabolisch gevormde baan.

Wat is het vlak in elk willekeurig punt van een parabolische baan die door y(x) wordt weergegeven? Inderdaad - de raaklijn. Met als hoek  dy/dx  ofwel de afgeleide van de paraboolfunctie. De normaal staat hier loodrecht op... Uit beide gegevens is dan ook de component van de zwaartekracht evenwijdig aan de normaal te bepalen. Dat kan de cos of sin zijn - afhankelijk van welke hoek je neemt om daar de cos of sin van te nemen...

Ik begrijp dat je de raaklijn moet gebruiken als lijn waar de normaalkracht loodrecht op staat. Als je dan de hoek van deze raaklijn met de x-as weet, kan je de component van de zwaartekracht berekenen die tegenovergesteld, maar gelijk, aan de normaalkracht is.

Maar mijn probleem ligt in het feit dat de raakvlak in ieder punt van de schans toch een andere hoek heeft, of zie ik dit gewoon verkeerd?

Nee, dat zie je goed. Waar de parabool zo'n beetje vertikaal loopt is de normaalkracht vrijwel nul (de kogel valt meer langs dan op de parabool) en waar die horizontaal is zal de normaalkracht maximaal zijn (gelijk aan gewicht).

Vandaar dat y(x) ook afhankelijk is van x en dus dy/dx ook. Voor elk punt (x,y) is er een andere dy/dx. Maar deze is wel wiskundig als formule uit te drukken. Voor elk punt van de baan geldt dan ook een andere normaalkracht.

Voor y(x) = ax² + bx + c  zal de afgeleide y'(x) = 2ax + b zijn. Voor elk punt x dus een andere waarde. Er is dus niet een vaste normaalkrachtwaarde (en dus ook geen vaste wrijvingskracht als je hiernaar zoekt. En de totale energie "verloren" aan wrijving is dan ook weer de integraal of som over alle stukjes ds van de parabool waar je ongeveer de normaalkracht gelijk mag stellen en de dE = F_wrijv(x).ds = μ.N(x) .ds )

De richtingscoefficient van de raaklijn is gegeven als dy/dx = tan β  Hieruit laat zich hoek β berekenen (=tan^-1 (dy/dx)) en daarmee ook hoek φ van de normaal die hier loodrecht opstaat (φ = β ± 90°) waarna de normaalkracht als component van de zwaartekracht te bepalen is.

Theo de Klerk, 22 feb 2013

Nee, dat zie je goed. Waar de parabool zo'n beetje vertikaal loopt is de normaalkracht vrijwel nul (de kogel valt meer langs dan op de parabool) en waar die horizontaal is zal de normaalkracht maximaal zijn (gelijk aan gewicht).

Vandaar dat y(x) ook afhankelijk is van x en dus dy/dx ook. Voor elk punt (x,y) is er een andere dy/dx. Maar deze is wel wiskundig als formule uit te drukken. Voor elk punt van de baan geldt dan ook een andere normaalkracht.

Voor y(x) = ax² + bx + c  zal de afgeleide y'(x) = 2ax + b zijn. Voor elk punt x dus een andere waarde. Er is dus niet een vaste normaalkrachtwaarde (en dus ook geen vaste wrijvingskracht als je hiernaar zoekt. En de totale energie "verloren" aan wrijving is dan ook weer de integraal of som over alle stukjes ds van de parabool waar je ongeveer de normaalkracht gelijk mag stellen en de dE = F_wrijv(x).ds = μ.N(x) .ds )

Het is inderdaad de wrijving die ik wil berekenen. Maar ik begrijp je niet zo goed wanneer je zegt dat je dan de integraal moet gebruiken. Ik dacht al dat het zoiets was, maar van wat moet ik de integraal dan exact pakken, van de raaklijn of gewoon van de parabolische functie?

En waarom zeg je ds, is dit de gewone afgelegde weg of de afgeleide?

> Het is inderdaad de wrijving die ik wil berekenen.

Stalen kogel, stalen baan. Wat is de maximale wrijving (op horizontale vlak)? Welk percentage is dit van de vrijkomende zwaarte-energie? Slaat het een deuk in een pakje boter? (=moet je je er druk om maken).

> Maar ik begrijp je niet zo goed wanneer je zegt dat je dan de integraal moet gebruiken. Ik dacht al dat het zoiets was,

Integraal = de som over heel veel kleine stukjes waarbij je op zo'n stukje een aantal dingen wel constant veronderstelt die het eigenlijk niet zijn. Maar voor een dx die bijna nul is mag het wel. Om deze "noodzaken" hebben Newton en Leibnitz de integraalrekening ("fluxierekening") destijds bedacht. En de natuurkunde kan vaak niet zonder. Al wordt wiskundig integreren vaak door numeriek integreren vervangen: laat de computer (Excel?) kleine stukjes doorrekenen en tel alles bij elkaar op. Dan zit je bijna goed qua antwoord.
En aangezien hier de normaalkracht en daardoor de wrijving verandert op elk klein stukje van de parabool zul je voor al die stukjes de wrijving moeten berekenen (en de energie) en dan alles bij elkaar optellen.

> maar van wat moet ik de integraal dan exact pakken, van de raaklijn of gewoon van de parabolische functie?

Wat denk je zelf? Bereken de normaalkracht in elk punt van de parabool. Bereken de energie die door wrijving wordt gebruikt in dat punt (en een stukje ds eromheen,  ds² = dx² + dy² (Pythagoras)). Tel alles bij elkaar op.  Optellen van elke energie op elk stukje ds. En ds is dan een stukje lengte langs de parabool. Waarschijnlijk wat wiskundeboeken afstoffen hiervoor maar dit is typisch 1e jaars wiskunde aan de universiteit. Maar numeriek de parabool in stukjes delen, de energie berekenen en optellen dat kun je op vwo ook met een Excel of slim programaatje de computer laten doen.

Maar vooreerst geldt het natuurkundig principe: is de invloed niet verwaarloosbaar? Zit er een deuk in het pakje boter? Zo niet, lekker weglaten en de "ideale" situatie nemen.

En waarom zeg je ds, is dit de gewone afgelegde weg of de afgeleide?

Theo de Klerk, 22 feb 2013

Waar de parabool zo'n beetje vertikaal loopt is de normaalkracht vrijwel nul (de kogel valt meer langs dan op de parabool) en waar die horizontaal is zal de normaalkracht maximaal zijn (gelijk aan gewicht).

Laat ik vooropstellen dat ik dit hele rolwrijvingsverhaal van een stalen kogel op een stalen baan een non-probleem vind, althans voor enig praktisch doel.

Maar als men dan toch de theoretische details in wil duiken ben ik bang dat bovenstaande nog (lang) niet volledig is: wat tot nu toe over het hoofd wordt gezien is dat op elk punt van de gekromde baan  de normaalkracht nog een extra component gaat bevatten, en dat is die van de centripetale kracht die de kogel gaat moeten ondervinden. Deze is niet alleen afhankelijk van de radius R die op elke plaats van een parabolische baan verschillend zal zijn, maar ook van de momentane snelheid die weer afhankelijk zal zijn van de integraal van alle tot dan toe ondervonden wrijvingskracht.

Ik denk dat we daarmee een punt bereiken waar de wiskunde NIET leuk meer is, als er überhaupt nog een analytische oplossing mogelijk is. En als je de (statische) normaalkracht niet wil verwaarlozen is dit geen "detail" om over het hoofd te zien, want de centripetaalkrachtcomponent in die normaalkracht kan overal in die parabool makkelijk enkele keren zo groot worden als die zwaartekrachtcomponent.

Groet, Jan

Ik ga inderdaad de wrijving erbuiten laten, omdat het zoals je zegt bijna onmogelijk is om deze te bereken. Ik zal er gewoon voor moeten dat de wrijving zo dicht mogelijk bij 0 is

erg bedankt beiden, jullie zijn een grote hulp geweest

Als je een gekozen baan wiskundig kunt beschrijven is dit overigens numeriek (d.w.z. in een model in coach of in excel) allemaal prima te doen in een uurtje. Maar die factor rolwrijving zal peanuts blijven.

Een ander verhaal, dat ik zo intuïtief zo gauw niet zou weten in te schatten is schuifwrijving. Ik ken de opdracht niet precies, maar uit wat ik aan inhoud van deze opdracht van 3-4 kanten op ons af zie komen lijk ik te mogen concluderen dat je gehouden bent aan een zeker hoogteverschil tussen startpunt en "lanceer"punt en daartussen een ideale baan mag gaan zoeken.

Dan komen er twee dingen om de hoek kijken:

1) Een kogel die je zijn hoogte-energie al rollende laat omzetten in kinetische energie zal een fors deel van die hoogte-energie omzetten in rotatie, en dat draagt geen millimeter bij aan de afstand die je kogel na lancering horizontaal aflegt. Dat "energieverlies" is prima theoretisch te berekenen en bedraagt als ik het me goed herinner voor een massieve kogel ergens in de buurt van de 30%.

2) wil je dat vermijden  dan zorg je dat je kogel een zo groot mogelijk deel van je baan niet rolt maar schuift. Maak het eerste stuk van je helling verticaal en die schuifwrijving zal zelfs 0 zijn, omdat dan de normaalkracht 0 zal zijn. Nu wordt 100% van de hoogte-energie omgezet in kinetische energie voor translatie (voorwaartse snelheid). Ergens onderin zul je echter toch die baan moeten gaan afbuigen zodat de kogel schuin naar boven gelanceerd kan worden. Hier zal die schuifwrijving ervoor zorgen dat de kogel alsnog gaat roteren (hoe groot de gemiddelde hoekversnelling en daarmee het toch ontstaan van rotatie-energie) gaat zijn hangt af van de schuifwrijvingskracht tussen kogel en baan, en, zolang de kogel niet roteert met een snelheid die overeenkomt met zijn voorwaartse snelheid (m.a.w. zolang hij slipt) met gaat een resterend deel van die schuifwrijvingskracht bovendien omgezet worden in warmte.

De schuifwrijvingscoëfficiënt van staal op staal is verrassend groot, ergens in de buurt van een factor 1000 groter dan de rolwrijvingscoëfficiënt.  Het zou me niet verbazen indien met een slim ontwerp een baan ontworpen kon worden die het optelsommetje van rotatie-arbeid en "slip"arbeid beduidend kleiner gaat doen zijn dan de rotatie-arbeid die uitgeoefend gaat worden op een zuiver rollende baan.

Als dit een wedstrijd is die je wilt winnen, zul je dus tóch aan het modelleren moeten slaan. En dat model moet dan zó handig worden gebouwd dat je met betrekkelijk weinig moeite steeds nieuwe baanparameters kunt invoeren en het effect van allerlei verschillende baanvormen en -lengtes (en misschien materialen als dat is toegestaan) kunt doorrekenen. Dat zal niet zo'n heel simpel model wezen schat ik, maar wel eentje die je mogelijk een 10-20% afstandswinst kan opleveren t.o.v. een zuiver rollende baan.

Veel plezier ermee. Ik zit met drie klassen middenin een eindejaarssprint richting eindexamen (vmbo BK, over 4 weken laatste schoolexamens)en heb geen tijd of energie om een gezellig een paar uur intensief te gaan zitten knobbelen.

Groet, Jan

student, 23 feb 2013

Ik ga inderdaad de wrijving erbuiten laten, omdat het zoals je zegt bijna onmogelijk is om deze te bereken. Ik zal er gewoon voor moeten dat de wrijving zo dicht mogelijk bij 0 is

Je bedoelt het ongetwijfeld anders, maar "weglaten omdat het onmogelijk te berekenen is" is een slechte reden. Als de invloed namelijk significant is dan mag je het niet weglaten - en als het zich moeilijk laat berekenen dan moet je aannames doen of versimpelde berekeningen zodat je een onder- en bovengrens kunt aangeven waartussen het echte antwoord moet liggen.

Weglaten mag alleen als de bijdrage marginaal is. Bijvoorbeeld als van de vrijkomende zwaarte-energie mgh bijna 99% in kinetische energie 1/2 mv² wordt omgezet, dan mag je in eerste instantie de 1%  overige factoren als rol- glijwrijving wel weg-idealiseren. Als je maar weet dat je berekeningen dan een beetje fout (te hoog) uitkomen.