Dag Gerrit,

Net als in je eerdere vrag van een tijdje terug: Wat je vraagt is vrijwel onbegonnen werk. De afmetingen van de voorwerpen zijn zó dat ze elkaars ladingsverdelingen fors zullen beïnvloeden.

de bol heeft een potentiaal van + 10 V. Hierdoor zullen elektronen in de plaat naar het midden van de plaat gaan bewegen, waardoor het midden van de plaat een negatieve lading krijgt en de uiteinden bijgevolg een positieve.

Wat doet dát weer met de ladingsverdeling op de bol denk je?  

Groet, Jan

dank voor de reactie,

dan krijg je de grootste ladingverdeling aan de bolkant die het dichtst bij de plaat zit (onderkant van de bol) en dus geen radiaal verdeelde lijnen.

of pis ik nu ver naast de pot?

en als ik het goed begrijp zit het grootste probleem dus in de afmetingen van de objecten t.o.v. de onderlinge afstand? 

kan dit aangepast worden zodat ik wel een reeele tekening kan maken dit doen ze overigens ook in natuurkunde boeken?

m.v.g.

gerrit 

Er is wel een zekere symmetrie in het probleem. De veldlijnen en potentiaallijnen spiegelen zich om het 0 V vlak. Zie bijgaande krabbel waarbij ietwat schokkerig eigenlijk vloeiende veldlijnen en potentiaallijnen getekend moeten worden.

Door een bol met tegengestelde lading te spiegelen op het 0 V vlak kun je zien hoe de veldlijnen lopen. In werkelijkheid zal in jouw geval de lading over de bovenbol en de plaat verdeeld liggen. Elk "vertrekpunt" van een veldlijn heeft evenveel lading als elk "aankomstpunt" op de plaat. (Ik wil hier niet de discussie oprakelen dat er oneindig veel veldlijnen zijn - in navolging van Faraday is dit een model waarin het aantal (getekende) lijnen evenredig is met de grootte van de veldsterkte die weer gerelateerd is aan de ladingshoeveelheid).

De verdeling van de lading over de bol is niet uniform: waar meer veldlijnen per cm² de bol verlaten is ook evenredig meer lading. De verdeling over de plaat is daarmee overeenkomstig niet-homogeen.

Zou de bol ook een plaat zijn dan is de lading wel evenredig verdeeld (en de veldlijnen vertikaal en potentiaallijnen horizontaal) en geldt  Q = C.V  waarbij C weer een evenredigheidsconstante is die we "de capaciteit" noemen van de plaat.

Gerrit, 26 sep 2011

en als ik het goed begrijp zit het grootste probleem dus in de afmetingen van de objecten t.o.v. de onderlinge afstand? 

kan dit aangepast worden zodat ik wel een reeele tekening kan maken dit doen ze overigens ook in natuurkunde boeken?

Ja, dat begrijp je goed. En de plaatjes in de natuurkundeboeken zijn óf geschematiseerde educated guesses óf computerwerk (want dit vergt miljoenen berekeningen en dat zijn nou juist die dingen waar computers zo goed in zijn)

Groet, Jan

Aanvankelijk dacht ik aan een wat moeilijker probleem, maar hier helpt de symmetrie wel een hoop. Als we ons concentreren op de bol met lading, dan kunnen we deze ook geconcentreerd denken in het centrum van de bol Een puntlading heeft een radiaal veld en bolvormige potentiaalvlakken.

In jouw geval heeft de bol een potentiaal van 10V en een straal van 0,015 m (ik neem tenminste aan dat de "doorsnede van 30 mm" bedoeld is als diameter van 30 mm").  Voor puntladingen geldt dat de potentiaal op een afstand r gelijk is aan

V(r) = E(r).r = Q/(4πε₀r²).r = Q/(4πε₀r)

En dus op het oppervlak van de bol met r = R = 0,015:

V = Q/(4πε₀R )  ofwel  Q = (4πε₀R).V = (4πε₀ . 0,015) . 10 coulomb

Voor het precies tekenen van de veldlijnen en potentiaalvlakken vanaf de bol naar de plaat die op V=0 gehouden wordt, vallen we terug op het "trucje" van spiegeling dat Maxwell in 1891 voor het eerst toepaste: plaats een puntlading van Q coulomb op 0.05 + 0,015 m boven de plaat en een andere met -Q coulomb lading even ver eronder. De plaat is dan precies een potentiaalvlak van 0V en de grootte en richting van de veldlijnen van de ene lading naar de andere laten zich dan numeriek uitrekenen omdat in elk punt P de veldsterkte bestaat uit een bijdrage van de +Q en een -Q lading die op afstanden r_+Q en r_-Q van het punt staan.

Typisch werk voor een computertje...  Ditto voor de potentiaalvlakken die gevonden worden door alle punten met gelijke grootte van E (maar niet per se dezelfde richting) met elkaar te verbinden.

nogmaals dank voor de reactie,

het is inderdaad typisch werk voor een computer, het neemt alleen niet weg dat ik moeten aantonen dat wat ik het programma laat berekenen overeenkomt met de theorie en dat is alleen met "simpele" modellen mogelijk. kennen jullie mischien een website of documenten waar ik die moeilijke berekeningen kan vinden?

het grote probleem voor mij is dat ik overeenkomst tussen "lading en potentiaal(verschil)" niet in mijn hoofd krijg.

dus als ik het goed begrijp:

als er, in zoals dit probleem potentiaalverschil is, dan is dit de energie (10V) die nodig om een lading te verplaaten van a (bol) naar b (plaat). deze ladingen volgen een (veld)lijn.

deze veldlijnen hebben een grootte en een richting:

de grootte wordt bepaald door de kracht (F) die op een lading uitgoefend wordt, dicht bij de bol is de invloed van de bol groter dus loopt dit nog haaks en des te verder je van de bol afkomt wordt de invloed van plaat groter en veranderd de richting vectorisch richting de plaat tot de lading "haaks aankomt".des te meer berekeningen je maakt des vloeiender de veldlijn.

en de veldsterkt is dus het grootst:

aan de onderkant van de bol omdat hier de grootste kracht op een lading uitgoefend wordt --> vectorisch opgeteld "de max. kracht van de bol haaks richting de plaat en de kracht van de plaat die ook haaks richting het eigen oppervlak werkt.

en bij de plaat op de hoeken omdat hier veel veldlijnen op een klein oppervlakte binnenkomt.

klopt het zo ongeveer?

m.v.g.

gerrit

> als er, in zoals dit probleem potentiaalverschil is, dan is dit de energie (10V) die nodig om een lading te verplaaten van a (bol) naar b (plaat). deze ladingen volgen een (veld)lijn.

Bijna. Potentiaalverschil tussen 2 posities is de energie die nodig is om een eenheidslading (1 coulomb) te verplaatsen. Voor een willekeurige lading q is de energie U = q.V   (Vandaar dat in atoomfysica de energie van een elektron wel eens in eV wordt weergegeven: de lading e maal het potentiaalverschil dat zo'n elektron doorloopt).
Een potentiaalverschil V wordt in volt weergegeven, de energie die een lading q van 1 C daarbij wint of verliest wordt in joules weergegeven (en U = q.V)

> veldlijnen hebben een grootte en een richting: de grootte wordt bepaald door de kracht (F) die op een lading uitgoefend wordt,

Correct. Ook hier geeft de elektrische veldsterkte feitelijk de kracht aan die op een eenheidslading wordt uitgeoefend door het veld veroorzaakt door een andere lading. Bij een willekeurige lading q is de kracht bij een veldsterkte E gelijk aan F = q.E

Als je een puntlading zou hebben van +1C en die ergens in een elektrisch veld zou loslaten dan zal deze lading bewegen langs een baan die overeenkomt met de elektrische veldlijn die door het punt van loslaten gaat. Langs de lijn wijzigt de richting en grootte van de kracht zich steeds een beetje en uiteindelijk eindigt de lading op het eindpunt van de veldlijn: de lading die het veld veroorzaakt. Het is alsof je een wandeltocht onderneemt in een bepaalde richting en telkens vertelt iemand je langs de route in welke richting en hoe hard je het volgende stukje moet afleggen. En aan het eind van dat stukje staat iemand om richting en snelheid door te geven van het volgende stukje dat je moet doorlopen. En zo kom je uiteindelijk bij de finish aan.

> dicht bij de bol is de invloed van de bol groter

Je bedoelt de invloed van de lading op de bol. Die is dan groter. Want de kracht tussen 2 ladingen wordt gegeven door F = k .q₁q₂/r² dus hoe kleiner de afstand r hoe groter de kracht. k is een evenredigheidsconstante die in het SI eenhedenstelsel gelijk is aan 1/(4πε₀) = 9 x 10⁹ Nm²/C²)

> de veldsterkt is dus het grootst:aan de onderkant van de bol omdat hier de grootste kracht op een lading uitgoefend wordt --> vectorisch opgeteld "de max. kracht van de bol haaks richting de plaat en de kracht van de plaat die ook haaks richting het eigen oppervlak werkt.

Inderdaad.

>en bij de plaat op de hoeken omdat hier veel veldlijnen op een klein oppervlakte binnenkomt.

Dit snap ik niet helemaal. Op de hoeken van de plaat? Loopt die niet eindeloos door in alle richtingen? Maar recht onder de bol waar veel veldlijnen op de plaat eindigen op een klein oppervlak is de kracht het grootst.

Misschien helpt dit je e.e.a. te onthouden:

• De kracht tussen 2 ladingen is  F = k Q₁Q₂/r² waarbij k een constante is. De eenheid van kracht is N (newton)
• De kracht die op een eenheidslading van (Q₁=) 1 C wordt uitgeoefend is de veldsterkte ter plekke:  E = F/Q₁ = kQ₂/r² 
  De eenheid hiervan is dan logischerwijze N/C . De kracht op een willekeurige lading Q is dan F = Q.E
• De energie/arbeid die verricht moet worden om een lading over een afstand s te verplaatsen is algemeen W = F.s en in elektrische termen W = F.s = k Q₁Q₂/r² . s  . Als s radiaal is (in dezelfde richting als r dan wordt s=r) dan is W = k Q₁Q₂/r  . De energie om een eenheidslading (Q₁=) 1C  te verplaatsen is dan W/Q₁ = k Q₂/r  en dit noemen we het potentiaalverschil V. De eenheid is J/C maar dit wordt meestal als "volt" aangeduid ( V = J/C = Nm/C)
  De energie nodig om een willekeurige lading Q te verplaatsen is dan  W = Q.V

Veldsterkte en potentiaal zijn dus grootheden voor resp. de kracht en energie per 1C lading.