Het korte en snelle help-jezelf antwoord voor antwoorden op examenvragen (nu die bijna beginnen) is even te kijken op www.examenblad.nl . Linksboven het goede jaar selecteren, dan schooltype kiezen bij het tabblad en dan het vak zoeken in de linkerbalk en vervolgens kun je opgaven of antwoorden ("correctievoorschrift" geheten) downloaden/inzien.

De vragen/antwoorden voor 2011 staan er natuurlijk nog niet op ;-)

Ondertussen kijken we even of we op deze site ook nog je kunnen helpen in vervolg-posts.

Bedankt voor de tip, maar ik had de uitwerkingen al goed bestudeerd op havovwo.nl. Ik snapte juist de uitleg die ze gaven bij de uitwerking niet. Ik hoop dat u mij misschien net wat duidelijker en vollediger het antwoord kan geven, want bij de uitwerking staat het echt super bondig opgeschreven.

> opgave 11, waarom kan de 90 graden hoek niet bij de lijn waar hoek A op zit, getekend worden?

 Bij een cirkelbaan is de bron van de centripetale aantrekkingskracht in het middelpunt gelegen. De straal (verbinding punt op cirkel en het midden) en de raaklijn in het punt op de cirkel staan altijd loodrecht op elkaar.

Dat is bij een ellips niet zo. De bron van de aantrekkingskracht (de Zon) is nu in een van beide brandpunten van de ellips gelegen.  Alleen voor de twee punten op de baan die op de meest gekromde plaatsen van de ellips liggen, geldt dat raaklijn en verbindingslijn met de Zon loodrecht op elkaar staan (groene pijlen: loodrecht op de ellips-as).

Voor alle andere gevallen moet je de snelheidsvector tekenen als raaklijn aan de ellips. Vervolgens creeer je een rechthoekig coordinatenstelsel met als oorsprong het punt A. De ene as laat je de verbindingslijn zijn tussen Zon en A (en daarmee de as waarlangs de aantrekkingskracht werkt) en de andere as staat hier loodrecht op.

Ju kunt nu de snelheidsvector ontbinden in 2 componenten waarvan er een langs de Zon-A as ligt, en de ander hier loodrecht op staat.

Zo duidelijker met de tekening?

> Hoe weet je dat de gravitatie-energie kleiner of groter wordt? kon je dat uit een formule afleiden? En is gravitatie-energie hetzelfde als gravitatiekracht (zijn het allebei dezelfde formules)

De energie van het systeem Zon & planetoide is constant want er zijn geen uitwendige krachten die op dit tweetal werken. (Niet helemaal waar want Jupiter heeft nogal wat invloed op planetoiden, maar voor ons geval mag je dit wel stellen).  

De potentiele gravitatie-energie van een object met massa m op afstand r van een ander object met massa M en in diens zwaartekrachtveld is gegeven als

U_pot = - GMm/r    (maximum = 0 bij r = oneindig, anders steeds kleiner (meer negatief) bij afnemende afstand)

De kinetische energie van het object is de vertrouwde

U_kin = 1/2 m v²

Als de som van beiden constant is, dan zal bij een afname van de onderlinge afstand r de potentiele energie afnemen (meer negatief) en ter compensatie moet dan de kinetische energie met een zelfde hoeveelheid toenemen.

Dit verschijnsel is ook wel bekend als de perkenwet van Kepler (de verbindingslijn Zon-planetoide strijkt in een vaste tijd over een even groot oppervlak van de ellips - http://nl.wikipedia.org/wiki/Wetten_van_Kepler ).

>En is gravitatie-energie hetzelfde als gravitatiekracht (zijn het allebei dezelfde formules)

Nee. Zeker niet!

Kracht = een invloed die een voorwerp met massa m doet versnellen (F = m.a,  bij gravitatie F = G Mm/r²)   Eenheid: Newton (kg.m.s^-2)

Gravitatie-energie = de energie nodig om een voorwerp met massa m op een afstand r te brengen van een ander voorwerp met massa M. Dat kost arbeid omdat M probeert m naar zich toe te trekken.  Arbeid is gedefinieerd als kracht x afstand en arbeid is de hoeveelheid energie die aan een voorwerp wordt toegevoegd (of afgenomen als het voorwerp zelf arbeid verricht)

U_pot = ∫ F.dr  en bij gravitatie U_pot =  - GMm/r  als we U=0 stellen bij r=oneidig. Eenheid Joules (Nm = kg.m².s^-2)

Ria, 14 mei 2011

opgave 11, waarom kan de 90 graden hoek niet bij de lijn waar hoek A op zit, getekend worden?

Ik bedoel daarmee: vanaf het punt van de pijl heb ik een loodrechte lijn getekend op die stippellijn, waardoor ik op 0,8 cm kom bij het meten.

Als je twee vectoren bij elkaar optelt zal de resultantevector altijd ergens daartussen komen te liggen 

Bij kromlijnige bewegingen zijn radiale en tangentiële (loodrecht op de radiale) componenten van belang, of het nu gaat om versnellingen, krachten, snelheden of wat ook. 

Je krijgt in deze opgave de radiale component en de resultante. Die resultante moet dus samengesteld kunnen worden uit een radiale vector en een tangentiële.Voor een cirkelbeweging gaat dat alleen maar als de radiale snelheidscomponent 0 is: en inderdaad, als een planeet cirkelvormig rond een ster beweegt, dan verandert zijn afstand tot die ster nooit. De snelheid richting de ster is dus 0.

In plaatje 3 heb ik zo'n denkbeeldige cirkelbaan getekend (vaag blauw).



We weten dat de werkelijke snelheid op enig moment van de planetoide een richting zal hebben over de raaklijn aan die ellips. Hiermee is de richting van onze resultante gegeven.

De andere (tangentiële) component straat loodrecht op de radiale. En daarmee gaan we terug naar plaatje 1. Niet zozeer een kwestie van loodrecht op het en of ander, maar meer een kwestie van vectoren optellen in parallellogrammen. Hier is dat paralellogram slechts toevallig een rechthoek.

Denkwerk: de rode situatie is die zoals jij die voor ogen had: hoe zou jij de andere component (noodzakelijkerwijs in een vrij willekeurige richting naar buiten) verklaren? Hoe krijg je dat nog voor elkaar als de planetoide gewoon een cirkelvormige beweging zou maken (dus met een radiale component van 0 m/s)?

Duidelijker zo?

Groet, Jan

Heel erg bedankt voor alle informatie en de tekeningen! Het is een heel stuk duidelijk geworden voor mij.

Alleen nog een paar dingen vind ik een beetje moeilijk:

>Upot = ∫ F.dr en bij gravitatie Upot= - GMm/r

1)Waarom is de formule niet Epot, moet je U gebruiken of maakt dat geen verschil uit?

2)En ik snap niet zo goed wat u met F.dr bedoelt.

3) dus formule voor gravitatiekracht : F = G Mm/r2 , wat is dan de formule voor gravitatie-energie (is dat gewoon F * s)?

Ria, 14 mei 2011

Alleen nog een paar dingen vind ik een beetje moeilijk:

>Upot = ∫ F.dr en bij gravitatie Upot= - GMm/r

1)Waarom is de formule niet Epot, moet je U gebruiken of maakt dat geen verschil uit?

2)En ik snap niet zo goed wat u met F.dr bedoelt.

3) dus formule voor gravitatiekracht : F = G Mm/r2 , wat is dan de formule voor gravitatie-energie (is dat gewoon F * s)

E_pot of U_pot - da's hetzelfde. Het ene boek gebruikt E het andere U. Maar zolang duidelijk is dat met beiden de energie bedoeld wordt mag het voor het oplossen van een probleem niet uitmaken. Een letter is maar een letter - al is er wel meestal een stilzwijgende afspraak over wat waar gebruikt wordt.

F.dr is de integraal-vorm van F.Δr waarbij je de kracht F op elk punt berekent, die dan vermenigvuldigt met het stukje afstand Δr (en als dit heel klein is dan wordt het als dr geschreven) om zodoende de arbeid te krijgen die verricht is (en leidt tot toename van de energie).  Als de kracht overal hetzelfde is en niet afhankelijk van de positie, dan kom je tot het in veel schoolboeken gebruikte simpeler  U_pot = F.r     Voor de zwaartekracht is dit echter niet zo - daar neemt de kracht af naarmate de afstand tot een massa groter wordt.

Als je je schoolboek nog eens naslaat dan zie je dat de zwaartekracht tussen 2 massa's m en M gegeven wordt door

F = G Mm/r²

(en de kleine massa oefent een even grote kracht uit op de grote als de grote op de kleine! Maar omdat  a_m = F/m en a_M = F/M zal de grote massa veel minder versnellen - vaak bijna nul. Vergelijk de appel en de Aarde die elkaar even veel aantrekken. En wie versnelt het meest van die twee?)

De potentiele energie van een massa m in een zwaartekrachtveld van M is

U_pot = E_pot = - GMm/r
Daarbij nemen we aan dat de energie 0 is voor r = oneindig, en alleen maar negatiever wordt naarmate ze elkaar naderen. (omdat bij 2 massa's de totale energie constant blijft betekent een steeds kleinere potentiele energie een overeenkomstig groter wordende kinetische energie zodat ΔU_pot + ΔU_kin = constant)

Sorry dat ik zo langzaam van begrip ben, maar klopt mijn gedachte?

 Upot= - GMm/r

 energie = kracht * afstand

 Dus dan zou voor gravitatie energie = gravitatie kracht * afstand

 dus:- GMm/r ^2 * r =- GMm/r ^2

 En is het nog belangrijk dat er een minnetje voor GMm/r staat, want waarom moet het eigenlijk negatief zijn?

> U_pot= - GMm/r

 Ja, zoals al enige malen geschreven

> energie = kracht * afstand

Strikt genomen is arbeid = kracht * afstand  maar dit is net zoiets als warmte en temperatuur: je voegt warmte toe en daardoor stijgt van een stof de temperatuur. Je verricht arbeid en daarmee neemt de energie van een voorwerp toe. Als het voorwerp arbeid verricht doet het dit door eigen energie af te staan.
Je kunt trouwens nooit zeggen dat een voorwerp een bepaalde energie heeft. Dat is altijd ten opzichte van iets anders (bijv. potentiele energie tov de grond. Graaf een diepe put en de potentiele energie tov bodem van de put is groter).

> Dus dan zou voor gravitatie energie = gravitatie kracht * afstand

Ja (maar zie boven): de arbeid die je verricht (kracht x afstand) resulteert in een toename van de potentiele gravitatie-energie. Er is dus geen absolute gravitatie energie.  Wat we doen is stellen dat die energie in het oneindige 0 is. Elke kleinere afstand heeft dan een lagere (kleinere) energie. Het kost je immers een maximale hoeveelheid arbeid om bijv. een kogel vanaf de Aarde naar het oneindige te brengen. En als je daar loslaat dan "valt" de kogel weer terug: verliest potentiele energie (tov Aarde) en wint evenveel in kinetische energie (komt met grote snelheid op Aarde neer)

> - GMm/r ^2 * r =- GMm/r ^2
Nee - dat klopt zelfs wiskundig niet.  1/r²  * r = 1/r

>En is het nog belangrijk dat er een minnetje voor GMm/r staat, want waarom moet het eigenlijk negatief zijn?

Dat komt vanwege de afspraak dat de potentiele energie (die maximaal is in het oneindige) 0 is. Elke andere energie is dan kleiner dan 0, dus negatief. Vandaar het minteken want als je de massa's invult (positieve kilo's) en de afstand (positief tov Aarde) dan zou er een positief ipv negatief getal uitkomen. 

Het minteken komt "vanzelf" bovendrijven bij integreren (als je daarmee vertrouwd bent):

 ∫_a^b 1/r² dr = ∫_a^b r^-2 dr = [- r^-1 ]^_ab en als je b = R neemt (eindpositie) en a = oneindig (beginpositie) dan is dit gelijk aan - R^-1 = - 1/R