Zwaartekracht en valtijd tussen twee voorwerpen in de ruimte
stelde deze vraag op 09 februari 2011 om 16:30.Reacties
Dag Michiel,
Je vraagt: 'Is dit dan de goede formule voor Erwin zijn vraag om tijd tot bots te berekenen als m1 beweegt naar m2 gezien van uit m2?'
Nee, de door jou verbeterde formule
is niet de goede formule voor Erwins vraag om de tijdsduur tot de botsing van de twee laptops te berekenen als m1 beweegt naar m2 gezien vanuit m2.
Want met dezelfde formule, met $m_1$ in plaats van $m_2$ kun je de tijdsduur berekenen als $m_2$ beweegt naar $m_1$ gezien vanuit $m_1$. Erwin vraagt 'Wat gebeurt er met deze tijdsduur wanneer de massa van de ene MacBook 2 keer zo groot is?' Met je verbeterde formule zou $T$ gezien vanuit $m_1$ een andere tijdsduur zijn als gezien vanuit $m_2$ terwijl het om een en hetzelfde proces gaat. Dat is absurd. Met de formule voor Erwins vraag moet je dezelfde $T$ (evenveel seconde) krijgen gezien vanuit $m_1$ als gezien vanuit $m_2$.
Behalve wat je hebt verbeterd in Theo's afleiding is er nog een fout indien 'm1 beweegt naar m2 gezien vanuit m2'.
De versnellingsmeter in laptop m2 registreert dat m2 een versnelde beweging uitvoert. (Oorzaak ls de wederzijdse gravitatiekracht; ook m1 maakt een versnelde beweging.) We zeggen: laptop m2 is geen inertiaalsysteem. Of netter: er is geen inertiaalsysteem volgens welk m2 in rust blijft.
In zo'n niet-inertiaalsysteem van m2 kun je de vertrouwde formules gebruiken, maar moet je een extra kracht op m1 meerekenen. Het is een 'schijnkracht' (Engels: fictitious force) zoals de middelpuntvliedende kracht als je met je fatbike een scherpe bocht neemt, of de corioliskracht op een vliegtuig dat boven de draaiende aarde beweegt.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fictitious_force
zie 'Detection of non-inertial reference frame'.
Hoe kunnen we de extra kracht meerekenen? Volgens de derde wet van Newton is de gravitatiekracht van m1 op m2 even groot als van m2 op m1.
Samen met de tweede wet van Newton volgt dat $m_1\cdot a_1=m_2\cdot a_2$ zodat $a_2=(m_1/m_2)\cdot a_1$, afgezien van plus of min.
Gezien vanuit m2 hebben we te maken met de relatieve versnelling van m1, dat is
Gezien vanuit m2 is de versnelling van m1 dus $(m1+m2)/m2$ maal zo groot als gezien vanuit het massamiddelpunt.
Een grotere kracht schrijven we toe aan een schijnbaar grotere gravitatiekracht
De formule voor de potentiële gravitatie-energie volgt op de gebruikelijke manier:
Volgens de wet van behoud van energie geldt
Anders dan wat Theo schrijft, wordt dit
Delen door m1 en herschrijven geeft
$v$ is de relatieve snelheid van m1 gezien vanuit m2. We kiezen de 'negatieve wortel' omdat de afstand $r$ afneemt, zodat $\text{d}r/\text{d}t=v$ negatief is.
Hierna gaat de afleiding zoals je hebt geschreven, met $G\cdot(m_1+m_2)$ in plaats van $G\cdot m_2$:
Je krijgt dezelfde tijdsduur $\Delta t$ tot de botsing als je de ongelijke massa's van de twee laptops in de formule verwisselt.
Je kunt de tijdsduur trouwens op een eenvoudiger manier berekenen met de derde wet van Kepler voor twee elliptische banen:
We doen alsof elke laptop beweegt langs een elliptische baan. De ellips van m1 heeft halve lange as $a_1$, die van m2 heeft $a_2$. We maken de ellipsen zeeer langgerekt, zodat 'heen en terug' bijna samenvalt tot een bijna recht pad.
Aan het begin zijn de laptops op een afstand $R=2\cdot(a_1+a_2)$ en $a_1+a_2=R/2$.
Bij de botsing heeft elke laptop een halve omloop gemaakt. Dat kost $\Delta t=T/2$. Combineren geeft dezelfde formule als hierboven.
Ook deze ellips-manier kun je doen gezien vanuit m2.
Groet, Jaap
