Ik denk dat je plaatje is weggevallen nadat je een verkeerde verificatiecode hebt ingetypt. Een zeer vervelende eigenschap van deze vraagbaak.

Daaruit is misschien af te leiden of de folie wordt afgewikkeld (denk het niet) of de rol domweg sneller gaat draaien. Maar waarom dan specifiek een rol folie? Elke holle buis zou voldoen.

En inderdaad als de hoeksnelheid ω toeneemt met dω/dt dan is er een hoekversnelling α . En op een afstand r van het middelpunt neemt dan ook de lineaire snelheid v toe:

v = ω.r   dus  dv/dt = a = dω/dt . r

De eerste keer typte ik inderdaad de code verkeerd. Bijgaand de bedoelde afbeelding.

De rol folie is een praktijksituatie. Een massieve buis waarop een kracht aangrijpt die raakt aan de buitenomtrek is een goede schematisering. Bij een holle buis bevindt de massa zich verder van het middelpunt. Ik vermoed echter dat dit ook een juiste schematisering is.

De rol folie wikkelt uiteindelijk wel af, waardoor de massa en de diameter van de rol afnemen. Maar de vraag betreft in principe de beginsituatie, waarbij de stilstaande rol met een bepaalde straal een versnelling krijgt.

OK - dus de folie wordt toch afgewikkeld. Zoals ook een touw op een haspel of een draad van een klosje garen wordt getrokken. Je "polaire zwaartelijn" is wel een originele oplossing, maar daar heeft men een betere op bedacht. Je bedoeling is waarschijnlijk om alle massapunten van de cilinder op 1 straal R' te krijgen waarop je de kracht laat werken.

 Inleiding

Iemand heeft al eens bedacht dat bewegingen in twee typen komen. Een translatie (of verplaatsing in de ruimte) en een rotatie (bewegingen van een lichaam om een as, het lichaam als geheel blijft op zijn plaats).

Voor translatie hebben we F = m.a gevonden waarbij de massa m een maat is voor de "weerstand" of traagheid waarmee een hoeveelheid materie in beweging wil komen (versneld wordt). Voor rotatie heeft men ook een "weerstand" tegen versneld roteren gedefinieerd: het traagheidsmoment I (hoofdletter i). En dit is een maat waarin het lichaam zich verzet tegen een hoekversnelling α als er een krachtmoment M (= F.r met afstand r tot draaias loodrecht op F) op wordt uitgeoefend: M = F.r = I. α

Het traagheidsmoment van een voorwerp is afhankelijk van waar de rotatie-as zich bevindt. Voor simpele symmetrische vormen kan het worden afgeleid, voor moeilijke vormen kan het alleen experimenteel worden bepaald. Voor een massieve cilinder met massa M en straal R die om zijn as draait (zoals de keukenfolierol) kun je afleiden dat I = ½ MR²

Bovenstaande moet je in elk universiteits-natuurkundeboek kunnen terugvinden.

Probleem

Dit probleem moet je van twee kanten bekijken vanuit energie-behoud: arbeid verricht door de folie en de daardoor toegenomen rotatie-energie van de cilinder:

1. De kracht F door de afwikkelende folie uitgeoefend op de massieve cilinder verricht een hoeveelheid arbeid dW = F .ds .
   a. de afstand ds is feitelijk een stuk van de ronde cilinderomtrek dat afwikkelt doordat de cilinder met straal R over een hoek dΘ draait. Druk ds uit als functie van R en Θ
   b. Geef de verrichte arbeid dW als functie van F, R en Θ
   c. Als de arbeid wijzigt in de tijd, dan is de verandering door dW/dt gegeven. Druk dW/dt uit in F, R en hoeksnelheid ω (=dΘ/dt)
2. De rotatie energie van een draaiend voorwerp met traagheidsmoment I kan worden bepaald als U = ½ I. ω² (en lijkt dus sterk op de translatie kinetische energie ½ mv²).
   a. De cilinder gaat sneller draaien door de uitgeoefende kracht. Als op enig moment de rotatie energie U = ½ I. ω² is, geef dan aan hoe dit verandert in de tijd: dU/dt in termen van I, ω en α (=dω/dt) ?
3. Verrichte arbeid komt ten goede aan de energie van het voorwerp waarop de arbeid is verricht: dW = dU (wet van energiebehoud).
   En elke wijziging ervan dus ook: dW/dt = dU/dt
   a. Werk dW/dt = dU/dt uit met de resultaten uit de eerste 2 vragen.
   b. Isoleer de kracht F als functie van cilindermassa M en folieversnelling a

Het probleem lijkt op een hoog opgehangen grote haspel met een hoeveelheid touw er opgewikkeld dat langzaam wordt afgewikkeld omdat het vrije touw-uiteinde door een massa naar beneden wordt getrokken. Zoals een emmer aan een touw in een put zakt.

Na een nachtje slapen realiseer ik me dat het natuurlijk ook nog simpeler kan en nog meer analoog aan de translatie situatie.

Bij translatie heb je F = m.a

Om iets te roteren moet je een kracht uitoefenen op het voorwerp zodanig dat er een krachtmoment ontstaat:  M = F.R (waarbij afstand R de loodrechte afstand tussen draaias en werklijn van F is. Bij een cirkel dus de straal).

Bij rotatie geldt M = F.R = I . α

waarin I het traagheidsmoment is, 1/2 MR² voor een massieve cilinder die om zijn as roteert. En α de hoekversnelling, α = a/R

Dan weet je ook genoeg om F uit te drukken in a. Zonder energiebeschouwing en differentiaalrekening.

Beste Theo,

Hartelijk dank voor je bruikbare reacties!