Dag Mark,

Het spijt me, we willen graag helpen maar we zijn geen huiswerkmachine. Een volledige cursus optica zit er hier niet in, je zult dus zelf al iéts mee moeten brengen.

Je eerste vraag. Is deze persoon verziend of bijziend? (simpel om te onthouden, als hij in de verte scherp ziet noemen we dat verziend). Dit moet verder aan de hand van een fatsoenlijk tekstboek verder prima te beantwoorden zijn.

2e vraag: als een evenwijdige stralenbundel een telescoop ingaat, dan moet hij er ook evenwijdig uitkomen.

Boots je situatie eens na met deze applet:

http://webphysics.davidson.edu/applets/optics4/default.html 

Laat je bij het vervolg in deze topic wat meer van je eigen werk zien?

Groet, Jan

> 1. Een persoon heeft een nabijheidspunt en een vertepunt van resp 10cm en 3m. Welke bril schrijf je voor?

Daar heb ik ook wel eens mee zitten worstelen in het verleden.

Vertepunt = 3 meter betekent dus dat een ongeaccomodeerd oog de lichtstralen van 3 meter afstand precies goed op je netvlies laat vallen. Alles wat verder weg is wordt niet scherp  gezien want je oog kan niet corrigeren: het staat al in "de slapste stand" (=grootste brandpuntsafstand, sterkte wordt gedefinieerd als S = 1/f in dioptrieen en is dus klein). De ooglens in slapste stand buigt licht teveel af. De lens is sterker dan van mensen die overal en altijd "goed zien". De persoon met een vertepunt nabij is dus bijziend (ziet alleen dingen dichtbij scherp). Dit is de meest voorkomende "oogafwijking" bij mensen.

Voorwerpen verder dan je vertepunt  beeldt je ooglens dan al scherp af VOOR je netvlies ipv erop. Naarmate iets dichterbij komt beeldt je ooglens het verderweg (maar nog voor) je netvlies af, totdat iets op 3 meter staat en BINGO - het is scherp op je netvlies. Nog dichterbij begint je ooglens te accomoderen (wordt "sterker", krijgt kortere brandpuntsafstand S= 1/f wordt groter) en zorgt daardoor ervoor dat alles op het netvlies scherp blijft afgebeeld. Tot 10 cm - dan is je oog maximaal geaccomodeerd. Nog dichterbij kan het oog niet sterker worden en worden voorwerpen achter je netvlies afgebeeld ipv erop en op het netvlies wordt het beeld weer vaag.

Makkelijkste oplossing (vanuit de natuurkunde): oog opereren en het netvlies wat naar voren zetten zodat beelden in het oneindige bij ongeaccomodeerd oog precies op het netvlies vallen. Dan pas je je oogbol dus aan aan de lens die je hebt. Nadeel: nogal kostbaar, heel riskant en voorlopig buiten ons medisch kunnen - misschien in 2300 pas. Bij Star Trek zie ik nooit iemand met bril (wel met vizor voor Yordi: vervanger van het oog). 

Goedkoopste (en uiteindelijk simpelste) oplossing: niet de oogbol aanpassen, maar de ooglens aanpassen zodat die correct op het netvlies dat je nu eenmaal hebt, afbeeldt. Dat kan tegenwoordig al een beetje door operatief je ooglens te vervangen of door laseren van je oog. Maar dat heeft allerlei beperkingen en gevaren.

Je kunt het oog laten voor wat het is, en met een optisch trucje (lees: bril) de situatie optisch zo aanpassen dat de ooglens met nog een brillens erbij tezamen de juiste sterkte heeft die past bij de afstand tot je netvlies. Wat eigenlijk in het oneindige staat wordt door de bril zo verschoven, dat het beeld lijkt te komen vanuit het vertepunt van het oog (3 meter dus in ons geval, de afstand waarop we nog net scherp zien). 

Dat betekent dat de parallelle lichtstralen die uit het oneindige komen van het voorwerp, van elkaar afgebogen moeten worden (uitwaaieren, divergeren) door de brillens voordat ze onze ooglens bereiken. We zien dat voorwerp dan op het netvlies scherp want de ooglens is ongeaccomodeerd zo sterk dat deze divergerende stralen scherp op het netvlies worden afgebeeld.

Welke lenzen (positief of negatief) zorgen ervoor dat een horizontale bundel licht wordt gedivergeerd door de lens?

Als je achter die lens gaat kijken (in die divergerende bundel) dan lijkt het alsof die stralen samenkomen aan de andere kant van die lens (dezelfde kant als het voorwerp in het oneindige) - ze convergeren naar het brandpunt van die lens.

Als de bril het oog moet helpen, dan moeten stralen uit het oneindige lijken te komen vanuit het vertepunt van het oog. Dat kunnen we gedaan krijgen door zo'n lens voor het oog te plaatsen die evenwijdige stralen lijkt te laten komen vanuit dat vertepunt. Evenwijdige stralen komen in het brandpunt van de lens samen. Dus (1) en (1) maakt (2): het vertepunt moet het brandpunt van de brillelens zijn.

En omdat die stralen aan dezelfde kant samen (lijken te) komen als het voorwerp is dit een negatieve brandpuntsafstand. En de bril heeft daardoor ook een negatieve sterkte  (S = 1/f)

Op zelfde manier zijn de meeste van je vragen wel te beantwoorden als je maar het volgende onthoudt:

• lichtstralen uit het oneindige komen parallel aan bij een lens
• parallelle lichtstralen worden door lenzen in het brandpunt samengebracht
• Bij positieve lenzen convergeren de stralen aan "de andere kant" van de lens tot een beeld (het oneindig verre voorwerp wordt op brandpuntsafstand afgebeeld). De brandpuntsafstand wordt positief gerekend
• Bij negatieve lenzen divergeren de stralen "aan de andere kant" van de lens. Het brandpunt ligt aan dezelfde zijde van de lens als het (oneindig verwijderde) voorwerp en wordt negatief gerekend
• Altijd geldt de lenzenformule 1/f = 1/v +1/b  waarbij de scherpte S = 1/f  (dioptrie) en vergroting N = b/v

Nu jij voor opgave 2 en 3...

Hoi Theo bedankt voor je duidelijke uitleg.

Dus het atwoord op vraag 1

P_np = 0,5m en q_vp = 2,00m

1/oneindig + 1/-2 = 1/f

brandpunt is dan f=-2meter

P= 1/f dus 1/-2D

Dus er moet een bril worden voorgeschreven met +1/2 Dioptrie?

Klopt deze beredenering?

Je zit wel op het goed pad, maar er gaat toch iets mis: je neemt het nabijheidspunt in de berekening in plaats van het vertepunt.

Een bijziend persoon ziet (ten opzichte van een goedziend persoon) dingen tot een bepaalde afstand goed . En omdat zijn oog sterker accomodeert in "slappe" toestand ziet de bijziende wel dingen op kortere afstand scherp dan een normaal persoon.

Als je een bril gaat aanmeten dan verander je de bijziende in een normaal ziende persoon. Dat betekent dat dat hij wel in het oneindige goed kan zien met een bril.  Daarbij ziet hij (met bril op) ook tot iets minder dichtbij scherp (maar hij kan altijd zijn bril afzetten of eroverheen kijken). Onthoud dat een bril probeert je ogen goed te laten zien in het oneindige - zoals normaal ziende mensen dat ook kunnen.

Je opgave gaat uit van een vertepunt van 3 meter. Dat is dus te dichtbij - de bril moet het oog helpen het oneindige op 3 meter te zien.  In de lenzenformule wordt het dan:

1/f = 1/v + 1/b

waarbij v = ∞ voor een voorwerp in het oneindige. De afbeelding van dat voorwerp moet op beeldafstand b komen, en b is (door de bril gezien aan dezelfde kant als het voorwerp) - 3 meter (min 3 meter - een virtueel beeld). 

Invullen:

1/f = 1/∞  + 1/(-3) = - 1/3 = - 0,33

Dus sterkte - 0,33 dioptrie en daarmee een f = 3 m

(Feitelijk geldt dit voor contactlenzen, die direct op het oog zitten. Een echte bril zit ca 2 cm van het oog. Dan wordt de beeldafstand 2,98 m ipv 3 en dus ook de brandpuntsafstand een pietsie anders).

Duidelijk zo?

Hoi Theo

jep ik had de verkeerde waarde ingevuld. Die 2meter moest dus gewoon 3 meter zijn. Ik had de waarde van 2 meter bij vraag 2 gezien, terwijl dit gewoon 3 meter moet zijn bij vraag 1.

maar bedankt voor je duidelijke uitleg. Ik zal direct beginnen aan vraag 2 en 3.

Mark, 9 nov 2010

Hoi Theo

jep ik had de verkeerde waarde ingevuld. Die 2meter moest dus gewoon 3 meter zijn. Ik had de waarde van 2 meter bij vraag 2 gezien, terwijl dit gewoon 3 meter moet zijn bij vraag 1.

maar bedankt voor je duidelijke uitleg. Ik zal direct beginnen aan vraag 2 en 3.

Even nog over je antwoord van -0,33 Dioptrie, daar ben ik mee eens. Maar dan zeg je dat de brandpunt f = 3meter, moet dit dan niet -3meter zijn?

Want P=1/f en als je dat invult dan krijg je voor P= +0,33! Of zie ik iets over het hoofd?

Helemaal gelijk. Het is een negatieve lens en de brandpuntsafstand is dan - 3 meter.

Theo de Klerk, 9 nov 2010

Helemaal gelijk. Het is een negatieve lens en de brandpuntsafstand is dan - 3 meter.

Of je was mij gewoon aan het testen of ik wakker was hehe. ;)

> Of je was mij gewoon aan het testen of ik wakker was hehe. ;)

Nee hoor - een "slordige afwijking" mijnerzijds: je weet wat er moet staan (negatief brandpunt) en dan vergeet je voor het gemak het minteken expliciet erbij te zetten. Een grote zonde in natuurkunde-berekeningen. Let op richtingen en tekens. Altijd.

Maar gelukkig was je wakker...

En om verder wakker te blijven bij je andere twee vragen: In beide gevallen (telescoop en microscoop) zal de eerste lens (objectief) een afbeelding maken van iets ver weg of heel dichtbij. Die afbeelding staat op afstand b (te berekenen uit lensformule). Zou je daar een papiertje houden dan zie je de afbeelding ook. Nu gebruik je een tweede lens (het oculair waardoor je kijkt) en ga je dit beeld als was het oculair een loep bekijken. Je ziet dus naar een virtueel beeld.

Ok bedankt voor je hint. :)

Ik zal proberen de sommen voor vrijdag a.s. nog af te werken, want vanaf zaterdag ben ik een week op vakantie, hopelijk heb ik dit probleem dan opgelost voor die tijd.

Ik dacht dat de herfstvakanties net afgelopen waren...

Bijgaand nog 2 plaatjes van resp microscoop en telescoop waarin de twee hoofdstralen (evenwijdig aan optische a en door midden van de lens) je in staat stellen de plek en grootte van de afbeelding te vinden. De v, b en f van de lenzenformule voor objectief en oculair zijn "kleur-specifiek". Je probeert het oculair zo te plaatsen dat je onvermoeid (=niet geaccomodeerd = naar evenwijdige lichtstralen) kunt kijken. Daarbij in gedachten houdend hoe het met lenzen en voorwerpsafstand zit:

• v > 2f  - verkleind beeld  N = b/v <1 (bijv camera)
• v = 2f  - 1:1 beeld  N = b/v = 1
• 2f < v < f  - vergroot reeel beeld  N = b/v > 1 (projector)
• v = f  - evenwijdige stralen naar het oneindige (vuurtoren)
• v < f  - vergroot virtueel beeld, hoekvergroting  (loep) 

=

Hallo Theo,

met een tekening erbij is het wel veel duidelijker en overzichtelijker. Alleen het lastige van deze sommen is dat je met uitkomsten moet doorrekenen, dus als je begin fout maakt dan is de rest ook fout.

De afkortingen en de gebruikte formules zijn uit een theorieboek.

- P_e = eyepiece

- p_o = objectief

- l = tusbuslengte

- d= afstand tussen de lenzen

- M = vergroting

- M₂₅ = 25cm is de afstand waarbij het normaal  oog nog scherp kan zien

Vraag 2a

* afstand tussen de lenzen d = f_e + f₀

  d= 2+18 = 20cm

Vergroting telescoop M_oneindig=-f₀/f_e

M_oneindig = -(18/2) = -9 virtueel/omgekeerd

Vraag 2b

Gegeven: f_e= 2cm q_e= -25cm

Oplossing: 1/p_e - 1/qe = 1/fe

1/p_{e =} 1/2 - 1/25 = 23/50 dus P_e = 2,17 cm

Verplaatsen oculair is f_e - p_e

Dus 2-2,17 = -0,17cm verplaatsen

Vraag 3a.

Afstand lenzen d= f₀ + l + f_e  (l=15cm gegeven)

d= 2+15+18 = 35cm

Vergroting M_{oneindig =} -l/f_{0 x} 25/f_e

M_{oneindig =} -15/18 x 25/2 = -125/12 Dus -10,4x

Vraag 3b.

Vergroting M₂₅ = -q₀/p₀ x 25/f_e

q₀ en p₀ zijn onbekend

q₀ = d - p_e

q₀ = 35 - 2,17 = 32,83cm

Dan 1/p₀ = 1/f₀ - 1/q₀

1/p₀ = 1/18 - 1/32,83  Dus p₀ = 39,85cm

Dan als laatst de vergroting in nabijheidspunt

M₂₅ = -32,83/39,85 x 25/2,14

M₂₅ = -9,6x

Zou je willen kijken of deze berekeningen en uitkomsten kloppen? Heb mijn uiterste best gedaan.

Alvast bedankt.

Groetjes Mark

>2. Met 2 lenzen met een brandpuntsafstand van 2cm en 18cm wordt een telescoop gebouwd

a) wat is voor waarneming met ongeaccomodeerd oog de afstand tussen de lenzen?
b) En wat wordt de vergroting?

Je antwoord: 
a) afstand tussen de lenzen d = f_e + f_o
d= 2+18 = 20 cm

Correct - het objectief beeldt de ster/planeet af op beeldafstand gelijk aan de brandpuntsafstand. En het oculair geeft evenwijdige ("oneindige") stralen naar je oog en om dat te doen moet het een voorwerp in zijn brandpuntsafstand zetten. Totale afstand dus de som van beide brandpunten.

b) Vergroting telescoop M_oneindig=-f₀/f_e
M_oneindig = -(18/2) = -9 virtueel/omgekeerd

Ook goed. Maar heb je hier alleen de formule opgezocht of weet je ook waarom? Je hebt hier dus niet echt een vergroting die je kunt afbeelden ("vastpakken") maar iets virtueels ("ongrijpbaars"). Dan wordt niet de lineaire vergroting genomen als M = b/v maar de hoekvergroting. Onder welke hoek zie ik een voorwerp door het objectief (in de tekening hoek α₁) en onder welke hoek zie ik de virtuele afbeelding door het oculair (hoek α₂). De verhouding hiertussen ( α₂/α₁ ) noemt men dan ook de hoekvergroting. En die is, zoals je aangeeft een factor -9.

Als je voldoende goniometrie kent en hoeken in radialen kan uitdrukken, dan is die formule ook wel af te leiden: voor kleine hoeken geldt namelijk dat tan φ ≈ φ (in radialen):

α₂ / α₁ ≈ tan α₂ / tan α₁ = (B/f_e) / (B/f_o) = f_o/f_e (als B de grootte van de afbeelding is door het objectief).

Je antwoord op het 2e deel van de vraag:
b) hoeveel moet het oculair verplaatst worden (vanuit positie vraag a) om een object op 22,5m scherp te zien?

Gegeven: fe= 2cm qe= -25cm
Oplossing: 1/pe - 1/qe = 1/fe
1/pe = 1/2 - 1/25 = 23/50 dus Pe = 2,17 cm
Verplaatsen oculair is fe - pe
Dus 2-2,17 = -0,17cm verplaatsen

snap ik niet helemaal. Wat is q_e hier? En je antwoord lijkt te groot.
Hier moet je de gewone lenzenformule weer gebruiken om te zien waar het objectief de afbeelding maakt van het voorwerp op 22,5 meter. Dat is "ietsje" minder dan oneindig en dus zal het beeld niet in het brandpunt van de lens liggen maar iets verder:

1/v + 1/b = 1/f
1/22,5 + 1/b = 1/0,18   (alles in gelijke eenheden - meters)
1/b = 5,511 ofwel b = 0,18145 m = 18,145 cm
Tov opgave a (waar het beeld op b=f=18 cm kwam) is er dus een vergroting van de afstand van 0,145 cm zodat het oculair deze afstand verder naar achteren moet worden getrokken om het beeld weer in zijn brandpunt te krijgen.

Voor vraag 3 moet ik nog even nadenken. Ik kan me niet goed voorstellen dat een microscoop gemaakt wordt met lenzen van 18 en 2 cm. Je kunt de telescoop niet als microscoop gebruiken, ook niet door hem "om te draaien".
Zowel objectief als oculair zijn normaal van korte brandpuntlengte om het apparaat klein te houden maar vooral om dicht op het te bekijken voorwerp te komen en met het objectief een groot reeel beeld te projecteren dat door het oculair weer verder vergroot wordt.

Vraag 3... toch eens wat boeken hierover nageslagen als mijn hoofd zegt "does not compute" - allicht snap ik het niet. Maar wat nazoeken lijkt de opgave niet zinnige lenzen te bevatten - de brandpunten van de lenzen in een microscoop zijn heel kort zodat je dicht op het voorwerp kunt komen en toch een grote vergroting kunt realiseren.
De tubus (buis)lengte van een microscoop is meestal (iets) groter dan de som van de brandpuntsafstanden. L = 15 cm gaat dus niet lekker samen met 2+18=20 cm.

Graag zie ik de uitwerking die degene die de som bedacht heeft voor ogen had en waar ik wellicht toch de boot miste...

Intussen, voor wie wil, heb ik het maar wat algemener gedaan al betwijfel ik of dit nog VWO stof is.

Oplossingsbenadering

Hoe zou je dan toch de vergrotingen kunnen berekenen? In woorden als volgt:

• bepaal de vergroting door het objectief. Dit geeft een vergrote, reele afbeelding in de buis van de microscoop.
• Dit beeld wordt met oculair vergroot. Virtueel. De hoekvergroting bepaal je door te kijken onder welke hoek je het objectiefbeeld ziet zonder hulpmiddelen (zo dichtbij mogelijk - nabijheidspunt van het oog) en hoe met de oculairlens. En die oculairlens kan het virtuele beeld dan ook zo dichtbij mogelijk (op beeldafstand = nabijheidspunt van het oog) afbeelden of in het oneindige (ongeaccomodeerd oog).
• De totale vergroting is het product van de vergrotingen door objectief en oculair.

Voor wie wil meerekenen, lees door.

 1) Het objectief

De constructie van een microscoop is zo dat een voorwerp op v_o net buiten het (korte) brandpunt f_o van het objectief ligt en daardoor een groot reeel beeld geeft (van grootte B) op afstand b_o dat vrijwel achteraan de tubus ligt (de lengte is daarop afgestemd). Grofweg mag je dan stellen b_o ≈ L en v_o ≈ f_o . De vergroting door het objectief is dan

 M_o = b_o/v_o ≈ L/f_o (alles in dezelfde eenheden: bijv. cm of m)

 2) Het oculair

Het oculair (ook met korte brandpuntsafstand f_e) kijkt naar dit beeld en vergroot dit virtueel (beeld en voorwerp aan dezelfde kant van de lens en v_e < f_e).

Zonder oculair zien we dit object het grootst als we het zo dichtbij mogelijk plaatsen: in het nabijheidspunt N (=25 cm voor de meeste mensen).
De hoek φ_o waaronder we dit zien zonder hulpmiddelen is dan φ_o ≈ tan φ_o = B/N
Met oculair is de hoek groter, φ_e ≈ tan φ_e = B/v_e

De hoekvergroting is dan M_e = φ_e / φ_o = - N/v_e (minteken omdat b_e en v_e aan dezelfde kant liggen)

Voor het ongeaccomodeerde oog staat het object in het brandpunt van het oculair: f_e = v_e) zodat
M_e = - N/f_e

Voor het geaccomodeerde oog staat de virtuele afbeelding op de kleinst mogelijke afstand waarop het oog scherp kan zien:het nabijheidspunt (zie ook eerdere tekening). Dus moet voor het oculair b_e = N (=25 cm) zijn. Wat is dan de bijbehorende voorwerpsafstand v_e?
Dat berekenen we met de lenzenformule:
1/v_e = 1/f_e - 1/b_e = 1/f_e - 1/N = (N - f_e)/Nf_e .
M_e = - N/v_e = - (N - f_e)/f_e

3) De microscoop

De uiteindelijke totale vergroting is  M = M_o . M_e

• ongeaccomodeerd M = L/f_o . (-N/f_e) = - L.N/(f_of_e)
• maximaal geaccomodeerd: M = L/f_o . (- (N - f_e)/f_e) = - L(N - f_e)/(f_of_e)

Zoals je ziet is er geen getal ingevuld, want de waarden van de brandpunten f_e en f_o (18 en 2 cm) geloof ik niet zo.