De fout zit erin dat de kracht tijdens het uitrekken van de veer niet constant is. Voor de eerste cm van de uitrekking is de benodigde kracht véél kleiner dan die mg die je suggereert in de term "-mgu" (vandaar ook dat een gewichtje zal versnellen als je het hangend aan een ontspannen veer loslaat), pas tegenaan de uiteindelijke uitrekking u heb je die volledige kracht nodig 

Gemiddeld over de volledige uiteindelijke uitrekking van de veer is de benodigde kracht daarom maar de helft van die mg: -½mgu +½Cu² = 0.

Denk anders aan de arbeid die je nodig hebt : W=F·s . Bij een veer met een C van 100 N/m kost die eerste centimeter gemiddeld maar 0,5 N aan kracht, W= F·s = 0,5 x 0,01 = 0,005 Nm.

Van 49 tot 50 cm uitrekking is de benodigde kracht echter 49,5 N : W= F ·s = 49,5 x 0,01 = 0,495 Nm

Tel van elke centimeter van 0 tot 50 cm al die oplopende hoeveelheidjes arbeid bij elkaar op dat is niet de UITEINDELIJKE kracht x héél die 50 cm , maar de gemiddelde kracht x heel die afstand. (of beter: de integraal van de arbeid over die afstand).

Duidelijk zo?

Groet, Jan

Zoals Jan al aangaf bereken je de totale energie stapje voor stapje omdat de veerkracht groter wordt naarmate de uitrekking toeneemt. Immers  F = C.u en niet constant (dan zou F = C zijn).

Voor wie wil weten hoe dat met integraalrekening kan worden berekend, de volgende oplossing.

Bij een uitrekking van  u_o is de kracht F = C.u_o
De bijbehorende energie extra energie ΔU nodig om een heel klein stukje Δu verder uit te trekken is dan ΔU = F.Δu = C.u_o.Δu 
Naarmate Δu kleiner is mag je bij benadering de kracht C.u_o constant denken. Maar voor elke Δu meer wordt die iets anders:

Dus wordt de energie een optelling van steeds kleine beetjes:

U = C.u_o.Δu + C.(u_o+Δu).Δu + C.(u_o+2Δu).Δu + ...

Ook wel geschreven als 

U = ∑ ΔU_i  =∑ C.u_i Δu   (de energie is gelijk aan de som van alle beetjes energie ΔU_i (waarbij index i=1,2,3...∞) en die is gelijk aan de som van F_i.Δu  = ∑ C.u_i Δu

Voor dit soort sommaties van (heel veel) incrementele kleine beetjes hebben Newton en Leibnitz de integraal (=oneindige sommatie) rekening uitgedacht (de ∑ wordt een ∫ en de Δu de heel veel kleinere  du ):

U = ∫ C.u du =  C .∫ u du =  ½ Cu² 

De beginwaarde van de uitwijking is u=u_o en de grootste einduitwijking is u=u_e. Over dit interval "wordt de integraal genomen": de integraalwaarde voor u_e wordt verminderd met die voor u_o:

Dan wordt U =  ½ C(u_e² - u_o²). 

Normaal zijn we alleen geinteresseerd in de (extra) energie nodig voor de uitrekking en stellen de energie bij beginuitwijking u_o op 0 (=½ Cu_o²) . Dan wordt het antwoord dus U = ½ Cu_e²

Dit komt overeen met het gemiddelde nemen van de energie aan het begin (0) en de maximale uitrekking (Cu_e²) - en dat mag in dit geval omdat de veerconstante C een  constante is. Anders had je echt alle beetjes bij elkaar moeten tellen.

Denk, denk ... ik begrijp m nog niet helemaal geloof ik ... je hebt het over krachten, maar ik dacht juist aan energien. Die -mgu is dan de verandering van zwaarte-energie. Je had van die opgaven met ballen die je van een toren gooit. Bovenaan de toren heb je zwaarte-energie, en onderaan de toren is de zwaarte-energie omgezet in kinetische energie. Op dezelfde manier dacht ik hier: in de begintoestand (waar de massa nog niet omlaag is gezakt) heb je alleen zwaarte-energie (= mgh) en in de eindtoestand heb je alleen veerenergie (= 1/2cu2). Dus zou dan moeten gelden: mgh = 1/2cu2 (wet van behoud van energie). En dat klopt natuurlijk niet ...

Dag Marc,

mg is niks meer dan een kracht.

u is een afstand

Arbeid (energie) is kracht x afstand

Wat jij over het hoofd ziet is dat die factor mg in het geval van die veer niet constant is over heel die afstand tussen ontspannen en uitgerekte toestand. Je moet dat namelijk wel vanuit die veer bekijken.

Leg die veer maar eens in gedachten horizontaal op een gladde tafel, en oefen jij zelf de arbeid maar eens uit om die veer over een afstand u uit te rekken. Dat wordt heel anders.

Hang je echter de veer in ontspannen toestand verticaal en laat je daarna de volledige zwaartekracht kracht mg op het blokje werken, dan is er even later op de afstand u niet alleen veerenergie, maar zal het blokje nog volop verticaal in beweging zijn op dat punt, en dus ook nog bewegingsenergie bezitten en gewoon door punt u héén schieten. Kortom, van de energie mgu (met u de uitrekking in rust) kruipt lang niet alles in die veer.

Wil je je blokje in één keer in rust krijgen op punt u, dan zul je met je hand onderweg naar beneden steeds een kracht naar boven moeten uitoefenen om dat blokje af te remmen.

begint er nu een lampje te branden?

groet, Jan

Ah ... dus het blokje komt zonder een derde kracht nooit stilstaand in de eindstand ! Dus heb ik ook nog een bewegingsenergie die ervoor zorgt dat de veerenergie kleiner is  (de helft dus :)) ) ... Dank je !

Juist. Ofwel, wiskundiger, de energie (W) die je in de veer stopt is een integraal van F·s voor s = 0 tot u

Want over heel die afstand is de veerkracht F niet constant. Omdat die kracht lineair toeneemt voor s = 0 tot u is de integraal eenvoudig, je kunt gewoon stellen dat de veerarbeid dan de GEMIDDELDE veerkracht over de afstand u is. Ofwel, de halve eindkracht maal héél de afstand.

groet, Jan