Belangrijk onderdeel in de berekening van de kringintegraal is de ΔΦ/dt . De magnetische flux ΔΦ = ΔB.A  (A= area=oppervlak) is een vector zoals B dat ook is.

Binnen de spoel is het opgewekte magneetveld tegengesteld gericht aan het veld buiten de spoel (B-lijnen zijn gesloten lijnen). Een kringintegraal nemen bij r > r_spoel is dus een andere situatie dan r < r_spoel want de magnetische flux binnen de kring staat nu twee tegengestelde kanten op. Dat maakt de situatie complexer.

Ik ben toch nog eens in mijn eigen Physics textbooks gaan zoeken naar de situatie van het B veld buiten de spoel en vond uiteindelijk volgende informatie (Physics for Scientists and Engineers - Randall Knight). Een deel van de oplossing zal niet tot de VWO behoren.

Met enige idealisatie (oneindig lange spoel) is er een uniform veld B binnen de spoel en een veld B = 0 buiten de spoel. Visueel is dit wel voor te stellen omdat de magnetische veldlijnen binnen de spoel dicht op elkaar zitten en een uniform veld geven langs de as van de spoel. Buitenom lopen de veldlijnen met grote bogen terug van het ene spoeluiteinde naar het andere (van Zuid naar Noord). Van +∞ naar -∞ als het ware. Die terugloop waaiert uit over de (oneindige) ruimte buiten de spoel en daarmee zijn de veldlijnen veel meer verspreid dan de veldlijnen binnen de spoel. Voor praktische toepassing zou je kunnen zeggen dat de veldsterkte B buiten de spoel 0 is en binnen de spoel een waarde B(t).

Laten we dan nu de beide situaties met cirkelbanen met straal r binnen en buiten de spoel bekijken.

De electrische veldsterkte E is een veld dat zowel binnen als buiten de spoel bestaat. Zou je de cirkel van geleidend metaal maken rondom de spoel dan zou door het veld E de electronen worden rondgejaagd langs de ci∫rkel om zo een magneetveld tegengesteld aan de wijzigende flux te produceren (Wet van Lenz).

Het fraaie is dat dit veld E er ook is als er geen geleider is en de cirkel "uit niks" bestaat (een denkbeeldige cirkel). Het feit dat een wisselend magneetveld een wisselend electrisch veld veroorzaakt (en vice versa) is de basis van ontstaan en voortbewegen van electromagnetische straling door vacuüm (en geen ether).

E(t) binnen de spoel (r ≤ R)

De wet van Faraday stelt, zoals je al aangaf, dat voor een gesloten baan de geinduceerde emf gelijk is aan

U_emf = ∫_kring E.ds = - dΦ/dt = - ∫∫_oppervlak A . dB(t)/dt (A=area=oppervlak door de kring omsloten, minteken als je wilt aangeven dat de emf de verandering in flux probeert tegen te gaan)

Als de baan een cirkel is met straal r, dan wordt deze vergelijking (omtrek 2πr en oppervlak π r² )

E. 2πr = - πr² dB/dt

zodat de geïnduceerde electrische veldsterkte E (als functie van straal r en tijd t) wordt gegeven door

E(r,t) = ½ r dB(t)/dt

Hoe groter de straal r, des te meer magnetische veldlijnen door de cirkelbaan worden omvat, hoe sterker het geïnduceerde electrische veld op die cirkel.

Voor het magnetisch veld in een spoel ( r ≤ R) met N windingen per meter en een stroom I(t) geldt volgens je bijgevoegde plaatje

B(t) = μ N I(t) = μ N I_max cos ωt

dB(t)/dt = - μ N I_max ω sin ωt

Voor maximale straal (r = R) en wisselende stroom I(t) varieert de electrische veldsterkte als

E(r=R,t) = ½ R dB(t)/dt = ½ R μ N ω I_max sin ωt

E(t) buiten de spoel

Het magnetische veld buiten de spoel (r > R) is afwezig (=verwaarloosbaar) (daarmee voor r>R is B(t)= 0 en dB(t)/dt = 0).

De totale flux Φ (en verandering ervan) blijft daarmee gelijk aan wat binnen de spoel geleverd wordt maar de electrische veldsterkte op grotere afstanden r geeft een grotere omtrekcirkel voor de kringintegraal:

E(r,t) . 2πr = dΦ_spoel/dt = - π R² dB(t)/dt

E(r,t) = R²/r μ N I_max ω sin ωt = (R² μ N I_max ω sin ω ) / r

De veldsterkte varieert periodiek maar de maximale waarde neemt af naarmate de afstand tot de spoel groter wordt en wel evenredig met 1/r .

Kijkend naar beide formules kun je zien dat:

•  tussen 0 < r ≤ R de veldsterkte E toeneemt lineair met r
• voor r > R de veldsterkte E afneemt omgekeerd evenredig met de afstand (met 1/r )