Reacties
Jan
op
02 september 2010 om 10:52
Dag Sander,
Ik ben zelf niet voldoende op de hoogte met alle fijne details van vloeistofdynamica. Veel verder dan Bernoulli kan ik je hiermee niet helpen, maar daarin wordt geen rekening gehouden met de afwijkende viscositeit van de vloeistof. Ook kan ik me voorstellen dat bij zo'n klein gaatje adhesiekrachten tussen de vloeistof en de rand van het gaatje een rol gaan spelen, maar ik heb geen idee hoe groot.
Misschien kun je beter je vraag ook eens hier stellen:
http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showforum=62
Groet, Jan
Theo
op
09 september 2010 om 21:54
Het probleem heeft onvoldoende informatie om het definitieve antwoord te geven.
Een visceuze vloeistof "stroopt" door een buis of leiding heen waarbij de lagen tegen de buiswand aan stilstaan en de laag in het midden het snelste stroomt. Daarvoor geldt de Wet van Poisseuille:
het volume per tijdseenheid = (pi . R4 . (drukverschil_begin_eind_buis) ) / (8 . viscositeitscoeff . Lengte_buis)
Hoe langer de buis (L) en hoe stroperiger de vloeistof (grote viscositeitscoeff) hoe groter de noemer wordt en hoe minder volume per tijdseenheid uit de buis stroomt. Alles wel in dezelfde (SI) eenheden natuurlijk! Uitkomst in kubieke meter per seconde.
------------------------------
Hier lijkt de situatie meer op een grote (brede/hoge) tank gevuld met olie die via een (minder brede, maar geen heel smalle) leiding kan leeglopen. De leiding is gesloten (geen oliestroom) en zo breed dat viscositeit geen grote rol speelt, maar lekt door een gaatje van 10-6 m2 (1 mm2).
Dan geldt de Vergelijking van Bernouilli.
Die zegt dat "de som van druk, kinetische en potentiele energie per volume-eenheid constant blijft voor elk punt langs de stroomlijn". Dat "per volume-eenheid" is wel belangrijk om druk en energie/m3 dezelfde dimensie te laten hebben ([N/m2]):
druk + kin.energie + pot.energie = P + 0.5 sm . v2 + sm . g . h = constant
(sm = soortelijke massa [kg/m3], v = snelheid [m/s], g = gravitatieconstante [m/s2]. De kinetische energie is de bekende 1/2 m.v2 waarbij m gelijk is aan sm voor een volume-eenheid. De potentiele energie door de zwaartekracht is gewicht (= sm . g) maal hoogte).
Als de oppervlakte van het vat heel groot is t.o.v. het gaatje in de leiding dan kun je stellen dat de snelheid waarmee het niveau in het vat daalt a.g.v. het lek heel klein is t.o.v. de uitstroomsnelheid bij dat lek (en stellen we voor het gemak/afronding v = 0).
Bernouilli's vergelijking voor de bovenkant van het vat wordt dan (hoogte gerekend vanaf positie van het gat):
(1) luchtdruk + (0,5 sm . 02) + (sm . g . 15) = luchtdruk + (sm . g . 15)
Voor de positie bij het lek is de vergelijking (met uitstroomsnelheid v):
(2) (luchtdruk + 15 . sm) + (0,5 . sm . v2) + (sm . g . 0) = (luchtdruk + 15 . sm) + (0,5 . sm . v2)
Aangezien het over dezelfde vloeistof gaat moeten beide vergelijkingen dezelfde constante waarde hebben en kunnen aan elkaar worden gelijkgesteld. Aan beide kanten doet de luchtdruk mee, dus die "strepen we weg" aan beide kanten. Ook kunnen we elke factor delen door de soortelijke massa sm (oplossing geldt dus voor elke vloeistof)
Je kunt nu de snelheid v oplossen: (1) = (2)
(sm . g . 15) = (15 . sm) + (0,5 . sm . v2)
15 . g = 15 + 0,5 . v2
v2 = 2 (15.g - 15) = 2 . 15 (9,8 - 1) = 30 . 8,8 = 264
v = 16,25 [m/s]
Dat betekent dat per seconde een "cilinder" vloeistof wegloopt van 16,25 meter hoog en 10-6 vierkante meter doorsnee.
Dat is per uur (3600 seconden) dan 3600 . 16,25 . 1 . 10-6 = 0,0585 m3 = 58,5 dm3 = 58,5 liter
Deze oplossing is onafhankelijk van het type vloeistof of de stroperigheid ervan. We weten namelijk niet of die stroperigheid van belang is in de afvoerbuis: bij een zeer brede buis nauwelijks (vgl omkeren van een blik olie), bij een smalle wel (blik via een trechter leeggooien).
------------------------------
Mocht de leiding vanuit de tank 15 meter lang zijn en weten we de (kleine) doorsnede (= pi . R2) van de leiding, dan kan met Poisseuile de stroomsnelheid door de buis ter hoogte van het gaatje worden bepaald (die dan WEL van de viscositeitscoeff afhangt en van soortelijke massa wegens het drukverschil bovenaan/onderaan de buis). Die snelheid maal oppervlakte gaatje geeft opnieuw het per seconde weglekkende cilindervolume vloeistof.
volume per tijdseenheid = (pi . R4 . (drukverschil_begin_eind_buis) ) / (8 . viscositeitscoeff . Lengte_buis)
= ( 3,14 . R4 . (15 . sm) / (8 . viscositeitscoeff . 15)
= ( 3,14 . R4 . sm) / (8 . viscositeitscoeff) in [m3/s]
