Eigentijd en eigenlengte
Ad stelde deze vraag op 16 mei 2010 om 18:11.Ik heb voor mezelf de formule voor de eigentijd proberen af te leiden uit de twee vergelijkingen van de Lorentztransformatie. De formule is als volgt (zie Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Eigentijd):
tau = t*sqrt(1-v**2/c**2)
De twee vergelijkingen van de Lorentztransformatie zijn als volgt (zie Wikipedia):
x' = x/sqrt(1-v**2/c**2) - v*t/sqrt(1-v**2/c**2)
t' = -((v*x)/c**2) / sqrt(1-v**2/c**2)) + t/sqrt(1-v**2/c**2)
We leiden de formule voor de eigentijd af door er van uit te gaan dat in de betreffende formule van de Lorentztransformatie x' = 0. Dit is het geval wanneer x = v*t. Wanneer we dit substitueren in de formule voor t' van de Lorentztransformatie dan krijgen we:
t' = t*sqrt(1-v**2/c**2)
Nu stellen x' en t' punten voor. x' stelt een bepaalde plaats voor en t' is een bepaald tijdstip. Maar tau verwijst naar een tijdsinterval. Nu is het getal, dat hoort bij het tijdstip t' hetzelfde als het getal, dat hoort bij de lengte van het tijdsinterval [0,t']. Dus we mogen t' ook interpreteren als een tijdsinterval, namelijk het interval [0,t']. Dezelfde redenering geldt voor t.
---------------------------------------
Vervolgens heb ik geheel analoog aan de afleiding van de formule voor de eigentijd ook de formule voor de eigenlengte proberen af te leiden uit de twee vergelijkingen van de Lorentztransformatie.
De formule is als volgt (niet op de Nederlandse Wikipedia, maar wel op de Engelstalige: http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_length):
lambda = x*sqrt(1-v**2/c**2)
We leiden de formule voor de eigentijd af door er van uit te gaan dat in de betreffende formule van de Lorentztransformatie t' = 0. Dit is het geval wanneer t = (v*x)/c**2. Wanneer we dit substitueren in de formule voor x' van de Lorentztransformatie dan krijgen we:
x' = x*sqrt(1-v**2/c**2)
Ook hier stellen x' en t' punten voor. x' stelt een bepaalde plaats voor en t' is een bepaald tijdstip. Maar volgens dezelfde redenering als boven kunnen x' en t' ook als de lengtes van intervallen geïnterpreteerd woden, zodat we tenslotte de formule hieronder krijgen
lambda = x*sqrt(1-v**2/c**2)
waarin lambda een afstand voorstelt.
---------------------------------------
De vraag is nu hoe je deze resultaten vanuit de natuurkunde moet interpreteren. Hier wil ik op ingaan nadat mijn vraag hieronder is beantwoord.
Mijn vraag luidt is dit allemaal goed of slaat het nergens op?
Reacties
De zin:
We leiden de formule voor de eigentijd af door er van uit te gaan dat in de betreffende formule van de Lorentztransformatie t' = 0.
moet natuurlijk zijn:
We leiden de formule voor de eigenlengte af door er van uit te gaan dat in de betreffende formule van de Lorentztransformatie t' = 0.
De formules van de Lorentztransformatie kun je vinden op Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Lorentztransformatie
Voor wat betreft t' schrijf je:
Dus we mogen t' ook interpreteren als een tijdsinterval, namelijk het interval [0,t'].
Zo'n conclusie zou je ook verwachten voor x'
Dus we mogen x' ook interpreteren als een ruimte-interval, namelijk het interval [0,x'].
Maar dat klopt niet want x' kan ook negatief zijn, hetgeen ook geldt voor x, en als x' negatief is kan het geen afstand zijn, omdat een afstand altijd postief is.
