Dag heren,

Hieronder een link waar je mogelijk wat aan hebt. Vooral § 2.2 is voor jullie vraag van belang denk ik?

Groet, Jan

http://plato.stanford.edu/entries/qt-uncertainty/

Binnen het kader van de middelbare school wis- en natuurkunde is het eigenlijk niet mogelijk om exact aan te geven hoe de onzekerheidsrelaties kunnen worden afgeleid. Ik zal toch proberen een tip van de sluier op te lichten.

Heisenberg zelf maakte in eerste instantie gebruik van een matrix-formalisme, later werd ook duidelijk dat een afleiding mogelijk was op basis van het door Schrödinger geintroduceerde formalisme dat gebruikmaakte van golffuncties (een formalisme is een wiskundige beschrijvingswijze). De golffunctie is daarbij een oplossing van een zg differentiaalvergelijking die in dit geval ook wel de golfvergelijking wordt genoemd. Het is een echte functie (in wiskundige zin) die de toestand van het deeltje eenduidig vastlegt. De golffunctie is in veel gevallen een complexe functie trouwens (het getal i komt er in voor). Verder speelt statistiek een hele grote rol in het geheel.

De afleiding van de onzekerheidsrelaties is een erg wiskundig verhaal waarbij het begrip operator een centrale rol speelt. In de quantumfysica correspondeert met elke fysische grootheid (plaatscoördinaat, impuls, energie etc) een zg operator. Deze operatoren zijn wat abstracte wiskundige objecten die je als het ware "loslaat" op de toestandsvector (matrixformalisme) of op de golffunctie (Schrödingers formalisme). In het matrixformalisme is zo'n operator een matrix (vandaar de naam matrixformalisme), in het golffunctieformalisme is het een bewerking die je uitvoert op de golffunctie.

Aan de hand van het golffunctieformalisme laten de operatoren en hun rol zich het beste illustreren. De operator voor de impuls is bijvoorbeeld:

P = h/(2πi)·∂/∂x (sorry maar het getal i komt er echt in voor)

x is daarbij de plaatscoördinaat. Als Ψ(x) nu de golffunctie is, dan is de statistische verwachtingswaarde voor de impuls te berekenen als:

<p> =∫ Ψ*(x) P·Ψ(x)dx = h/(2πi) ∫Ψ*·(∂Ψ/∂x) dx

waarbij Ψ*(x) de zg complex geconjugeerde van Ψ(x) is (identiek aan Ψ behalve dat er een minteken voor de i's wordt gezet). De haakjes <> geven aan dat het om een verwachtingswaarde gaat. De integraal wordt genomen over de hele ruimte waar het deeltje zich kan (!) bevinden.

Voor de verwachtingswaarde voor de plaats x geldt iets soortgelijks. De operator voor de plaatscoordinaat is X = x (de plaatscoordinaat zelf). We krijgen dan:

<x> = ∫ Ψ*(x) x Ψ(x)dx


Welnu, als we het over verwachtingswaarden hebben dan kunnen we ook spreken over standaarddeviaties. De standaarddeviatie is een maat voor de waargenomen spreiding in een te meten grootheid. De standaarddeviaties voor de impuls en de plaatscoördinaat zijn gedefinieerd als:

σ_p = √<(p - <p>)²>      σ_x = √<(x - <x>)²>

waarbij de berekening van de verwachtingswaarden analoog verloopt aan de berekening van <p> en <x>. Wel zijn daarvoor nog 2 extra operatoren nodig:


P² = P·P = -h²/(4π²)·∂²/∂x² en X² = x²

De standaarddeviaties zijn in feite de onzekerheden in respectievelijk de impuls en de plaats (Δx=σ_x  Δp=σ_p). Je kunt nu op een listige manier algemeen (dus voor alle mogelijke golffuncties) bewijzen dat:

σ_x ·σ_p ≥ h/(4π)

Waarmee je dan dus in feite de plaats/impuls onzekerheidsrelatie hebt afgeleid (er zijn meer onzekerheidsrelaties trouwens).

Goed, zoals je ziet is het misschien een wat ingewikkeld verhaal maar misschien heb je er wat aan.
Je kunt trouwens in een aantal gevallen de bovenstaande onzekerheidsrelatie wel relatief makkelijk illustreren. Een zo'n geval is het bekende deeltje in een doos probleem. Daarin botst een deeltje heen en weer tussen 2 wanden met impuls +p of -p (teken al naar gelang naar welke kant het deeltje opgaat). De onzekerheid in de impuls is dus ongeveer Δp= 2p. De p is gegeven door nh/(2L) waarbij L de afstand tussen de 2 wanden en n=1,2,3,4...etc. De onzekerheid in de plaats is Δx=L. We krijgen dus ΔxΔp=nh/2 hetgeen in overeenstemming is met de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.

 

 

Jan van de Velde, 11 jan 2010
Dag heren,

Hieronder een link waar je mogelijk wat aan hebt. Vooral § 2.2 is voor jullie vraag van belang denk ik?

Groet, Jan

http://plato.stanford.edu/entries/qt-uncertainty/


Hoi Jan,

Deze site hadden wij al gevonden, maar helaas begrijpen we er niks van.
Zou u het misschien kunnen toelichten aan de hand van voorbeelden?

Groetjes Kees

Erg bedankt voor de uitleg,
maar helaas snappen we er nog steeds niet veel van. De stappen gaan te snel. Is het misschien mogelijk dat u het uitlegt via voorbeelden?

groet Kees

Mitchel, 12 jan 2010
Hoi Jan,

Deze site hadden wij al gevonden, maar helaas begrijpen we er niks van.
Zou u het misschien kunnen toelichten aan de hand van voorbeelden?

Sorry, maar hier moet ik je in de steek laten. Van de quantumfysica ken ik eigenlijk ook alleen maar de buitenkant eerlijk gezegd.

Je moet ook niet vergeten dat de quantumfysica grotendeels een wiskundig verhaal is. Als zelfs Feynmann al dingen zegt als "wie beweert quantumfysica te begrijpen heeft het dus écht niet begrepen"........

De sommetjes (nou ja) verklaren dat dingen kunnen gebeuren die volgens klassieke natuurkunde eigenlijk onmogelijk zouden moeten zijn. Maar als we goed kijken en meten nemen we die "onmogelijkheden" ook inderdaad waar.

Als je aan JB's uitleg en die site niet genoeg hebt, dan zit er denk ik weinig anders op dan een natuurkundige zien te vinden (universiteit) die je dat misschien van aangezicht tot aangezicht duidelijk zou willen proberen te maken. Je gaat hiermee best wel diep hoor.

Maar misschien dat iemand het nog eens wil proberen?

Groet, Jan