Dag Sabine,

Hier hoef je niet eens aan te rekenen. Zonder afbeelding is je opgave overigens ook duidelijk genoeg. Een uitleg zonder afbeelding is mogelijk wat lastiger, maar we zien wel.

Eerst een wedervraag: snap je hoe het komt dat een satelliet überhaupt in zijn baan blijft? (Baansnelheid, centripetale versnelling zijn hier sleutelwoorden.)

Groet, Jan

Ik weet dat het te maken geeft met de gravitatiewet toch? Ik heb zelf natuurkunde1 gehad, maar dit is meer natuurkunde2 dus ik weet er niet veel over.

 F= G * (m1*m2)/(r2)

Die formule ken ik nu een beetje, maar hoe dat zit met de snelheid zou ik niet weten

OK,

Kijken we eens naar een steen die je aan een touwtje rond je kan slingeren. Die steen wil eigenlijk gewoon rechtdoor met de snelheid die hij heeft. Maar met behulp van dat touw oefen jij een zijdelingse kracht op die steen uit. De steen ondervindt een versnelling naar opzij, haaks op zijn bewegingsrichting. Gevolg: de bewegingsrichting van de steen verandert.

Maar ja, jij blijft op je plaats staan. De richting van de kracht die jij via dat touw op de steen uitoefent verandert dus gewoon mee, en staat weer haaks op die nieuwe bewegingsrichting. Dat gaat zo door en door en het gevolg is dat die steen rondjes rond jou, dat middelpunt, draait. De grootte van de snelheid van de steen verandert niet, de richting van die snelheid verandert voortdurend. Er is een voortdurende kracht riching het middelpunt, dus een voortdurende versnelling richting het middelpunt, dus een voortdurende richtingsverandering.

De middelpuntzoekende (=centripetaal-)) kracht die je nodig hebt om die steen in zijn zelfde baan te houden wordt groter als de snelheid van de steen groter is, en kleiner als je touw langer is. Fc = mv²/r . De afleiding besparen we je.

Trouwens, voor jouw gevoel is het nét of die steen aan jou trekt. (actie=reactie) Die schijnbare kracht wordt ook wel centrifugaalkracht genoemd. Ik haal hem er voor de duidelijkheid even bij: we doen net of de centrifugaalkracht de steen van je weg wil trekken, en jij met die centriPETAALkracht de steen naar je toetrekt. Dit blijft alleen maar goed gaan als beide krachten in evenwicht zijn. Wordt de snelheid van de steen groter (plak er een vuurpijltje op) dan wordt mv²/r groter, en moet je dus ook meer kracht gaan leveren om hem de bocht om te kunnen blijven trekken. 

Het is dus de aantrekkingskracht van de aarde in combinatie met een bepaalde snelheid van de satelliet in zijn baan die de satelliet in zijn baan houdt. Die zwaartekracht op een bepaalde afstand "r" van het middelpunt van de aarde wordt gegeven door de formule waar jij mee afkwam. Dat is dus de centripetaalkracht die geleverd kan worden. De schijnbare centrifugale kracht is gelijk aan die Fc=mv²/r. Zijn die twee aan elkaar gelijk dan blijft de satelliet in zijn baan.

Stel ze maar eens aan elkaar gelijk en streep een en ander tegen elkaar weg. De gravitatieconstante G en de massa van de aarde M kun je samenvoegen tot één onbekende constante, die is toch voor alle satellieten gelijk.

Ik hoop dat dit duidelijk is, het is véél principiële uitleg in een paar alinea's, maar je hebt dit vast al eens gehad dus wellicht komt het nu weer bovendrijven.

Groet, Jan

Als ik het goed begrijp moet ik moet ik F = G * (m1*m2 /r^2) en Fc=mv^2/r aan elkaar gelijk stellen.
G en de massa van de aarde neem ik 1

Ik hou dan hetvolgende over.
1 * (m1/r^2)  =  mv^2/r

Voor satelliet a:
1 * (100/1^2) = 100v^2 / 1
100 = 100v^2
v^2 = 1

Satelliet b:
1 * (150/2^2) = 150v^2 / 2
37,5 = 150v^2
v^2 = 1/2
Satelliet c:
1 * (200/3^2) = 200v^2 / 3
22,22 = 66 2/3 v^2
v^2 = 1/3

 Doe ik het zo goed?

Met alles wat je op 1 stelt, die G, M en die r ook al, doe je het correct. Nou is het wiskundig gevaarlijk om voor dingen klakkeloos 1 in te vullen, dan verdwijnt er nog wel eens wat wat je later misschien nodig hebt. Je kunt ze beter blijven voorstellen met de c van constante of de variabele zelf.

De snelheid van satelliet a is dus v_a = √(GM/r)

 v_b= √(GM/2r)

v_c =  √(GM/3r)

met M is massa aarde.

De massa van de satelliet doet er niet toe zoals je ziet.

conclusie:  √(GM/r) > √(GM/2r) > √(GM/3r)

satelliet a heeft de grootste snelheid

Groet, Jan

@Jaap: sorry, zag nu bij plaatsing pas dat jij onderweg was.

Dag Sabine, Jan,
De conclusie die je kunt trekken uit je uitwerking, is juist: satelliet a heeft de grootste snelheid.
Je afleiding laat nog enige ruimte voor verbetering. Door G en maarde op 1 te stellen, verkrijg je 1 * (m1/r^2)  =  mv^2/r. Dat is riskant, want als je getallen invult in deze betrekking, vind je onjuiste uitkomsten. Wat is bij voorbeeld de betekenis van je "v^2 = 1" voor satelliet a?
Een alternatief... G×msat×maarde/r²=msat×v²/r.
We delen door msat → G×maarde/r²=v²/r
We brengen alles wat voor satelliet verschilt naar rechts en alles wat voor elke satelliet gelijk is naar links → G×maarde=v²×r²/r → G×maarde=v²×r.
G×maarde is voor elke satelliet gelijk, dus v²×r moet ook voor elke satelliet gelijk zijn →
vb²×rb=va²×ra waarbij de indices a en b naar de satellieten a en b verwijzen.
Herschrijven:  vb²=va²×ra/rb → vb=va×√(ra/rb).
De baanstraal rb van satelliet b is groter dan ra → ra/rb is kleiner dan 1 → √(ra/rb) is kleiner dan 1 → vb is kleiner dan va → satelliet a heeft de grootste snelheid.
Een gelijkaardige redenering voor satelliet a en c.
Groeten, Jaap Koole

(Jan en ik zijn er weer aardig eens...)