Icon up Overzicht

Gravitatiewet van Newton

Onderwerp: Kracht en beweging

Bij Corus (voorheen Hoogovens) voorspelt men met numerieke modellen hoe het metaal zich houdt in de metaalpers. Weermannen en -vrouwen gebruiken elke dag een numeriek model om het weer te voorspellen. De ESA berekent met numerieke modellen de baan die satellieten volgen tijdens hun reis door de ruimte. Bij Nederlandse onderzoeksinstellingen en universiteiten zijn numerieke modellen inmiddels gemeengoed bij het onderzoeken van natuurkundige processen op aarde en verder weg in het heelal. Numerieke modellen is natuurkunde bedrijven met de computer. Numeriek modelleren is booming!

Er wordt een model getoond van een meervoudig planeetstelsel.Er wordt uitgelegd hoe de zwaartekracht verandert met de hoogte.Er wordt uitgelegd hoe de gravitatie-energie gedefinieerd is.Er wordt een verband gelegd tussen bewegingsenergie, arbeid en gravitatie-energie.

Gravitatiekracht

Newton kreeg een geweldig idee toen hij een appeltje uit een boom zag vallen: hij stelde vast dat de appel zonder snelheid begon en dat die snelheid steeds groter werd. Volgens Newton zou er dus een kracht moeten werken die de appel versnelde.

Maar wat zou er gebeuren als een appel van een hogere tak viel? De eindsnelheid zou dan ook groter moeten zijn! De geniale Newton bedacht dat die kracht dus ook op een veel grotere hoogte zou moeten werken, bij een boom van kilometers hoogte of zelfs in de ruimte buiten de aardse atmosfeer. Zo kon hij ook de snelheidsverandering (in richting!) van de maan verklaren.

 

Bij de gravitatiekracht is sprake van een aantrekkingskracht tussen twee massa's: dat de grootte van deze massa's belangrijk is spreekt vanzelf. Maar hoe de kracht afhankelijk is van de afstand tussen beide middelpunten is moeilijker te bepalen.

Newton kon uit de nauwkeurige sterrenkundige waarnemingen van Johannes Kepler (1571-1630) afleiden dat de gravitatiekracht omgekeerd evenredig moest zijn met het kwadraat van de afstand tussen beide massa's.

dus:
Fg ~ m1 * m2
...en
Fg ~ 1 / r2
gecombineerd:
Fg = G * m1 * m2 / r2
...waarin G een constante is (6,67 . 10-11 nm2kg-2) die in de tijd van Newton nog niet nauwkeurig bepaald kon worden.

Gravitatie-energie en bewegingsenergie

Nu blijkt het in de natuurkunde handig te zijn om het begrip kracht te koppelen aan het begrip energie. Een kracht kan immers arbeid verrichten. En arbeid is niets anders dan het omzetten van de ene energievorm in een andere. Ook de gravitatiekracht verricht bijvoorbeeld arbeid bij het vallen van het appeltje van Newton: er wordt gravitatie-energie omgezet in bewegingsenergie.

Je kunt deze energieomzetting goed zien in de applet Planeten: op élk moment is de som van potentiële en kinetische energie constant. Het gedrag van drie deeltjes is analytisch niet te beschrijven. Numeriek wel. Pas op: je moet de juiste startwaarden kiezen voor een goede baanbeweging.

Gravitatie-energie en arbeid

Gravitatie-energie is een vorm van potentiële (zeg maar: mogelijke) energie: als je twee massa's op een afstand van elkaar houdt, kán de aantrekkende kracht arbeid gaan verrichten. Als je ze loslaat, wordt de gravitatie-energie omgezet in bewegingsenergie. Ook als je een appel laat vallen, vindt deze omzetting plaats: de appel krijgt een snelheid en dus bewegingsenergie. (De aarde krijgt trouwens ook een snelheid, maar die is wel heel erg klein!) Bedenk dat de potentiële energie afneemt als er positieve arbeid wordt verricht. De kinetische energie wordt dan natuurlijk groter.

Onderstaande afleiding is zo uitgevoerd dat de potentiële energie nul is op oneindige afstand van de planeet.

ΔEkin = ΔW
en
ΔEpot = -ΔW
De gravitatiekracht verricht dus arbeid. En arbeid kan geschreven worden als kracht F maal verplaatsing Δr. Waaruit volgt:
ΔW = Fg * Δr
Na een beetje rekenen volgt:
W = G * m1 * m2 / r
Bedenk dat:
ΔW = -Egrav
Dus:
Egrav = -G * m1 * m2 / r