Opgave
Wanneer een elektrische lading in een ruimte of medium wordt gebracht, krijgt die ruimte of dat medium bepaalde natuurkundige eigenschappen (ook als de ruimte een vacuüm is). De veranderde ruimte wordt het elektrische veld genoemd. Er worden eerst algemene vragen over het veld gesteld. Zie hiervoor de figuur:
We houden een proeflading met verwaarloosbare afmetingen, een massa van 1,50 mg en een elektrische lading van -20,0 pC in punt A op een afstand van 50,0 cm van een vastgezette grotere geladen bol. De bol heeft straal van 10,0 cm. Op de proeflading wordt een elektrische kracht uitgeoefend. Op de bol bevindt zich een lading van +10,0 nC.
a) Bepaal grootte en richting van die kracht.
b) Geef de richting van het elektrisch veld van de bol.
Wanneer de lading langs de gestippelde lijn k van punt A naar de rand van de bol wordt gebracht, heeft de elektrische kracht arbeid verricht.
c) Is deze arbeid te berekenen met de formule W = F * s * cos (α)?
d) Als de lading via de kromme lijn m naar de bol zou worden gebracht, verandert dan de arbeid die door de elektrische kracht verricht is? Zo ja, wordt die dan groter of kleiner?
e) Bereken de waarde van E(x) en V(x) om de bol heen, tot op een afstand van 1,00 m. Schets de grafiek van E(x) en die van V(x).
f) Welk verband bestaat er tussen E(x) en V(x)?
g) Bereken de arbeid die verricht wordt door de elektrische kracht wanneer de proeflading van A, langs k, naar de bol wordt gebracht.
Onderzoek heeft aangetoond dat de constante f in de formule voor de Coulombkracht geschreven kan worden als
h) Bereken de waarde van ε.
De afhankelijkheid van ε kan tot uitdrukking worden gebracht door ε te schrijven als ε = ε0 * εr, waarin ε0de zogenaamde diëlektrische constante van vacuüm is en de zogeheten relatieve diëlektrische constante εr aangeeft hoeveel maal zo groot de diëlektrische constante ε van die stof is als de diëlektrische constante van vacuüm. In de tabel hieronder zie je een aantal waarden van εr. Voor ε0 mag je de waarde nemen die Binas opgeeft in tabel 7.
We gaan op zoek naar een manier om εr te kunnen bepalen. Daarvoor is het eerst nodig om het begrip veldlijnendichtheid te introduceren. Het aantal elektrische veldlijnen dat op een geladen bol uitkomt of ervan uitgaat noemen we N. In elk punt van het elektrisch veld van een geladen bol zijn veldsterkte E en veldlijnendichtheid aan elkaar gelijk, wat getalwaarden betreft. N.B: De veldlijnendichtheid is niet gelijk aan het aantal veldlijnen, maar aan het aantal veldlijnen per vierkante meter.
i) We bekijken het elektrisch veld van een bol. Hoe zou je de veldlijnendichtheid kunnen uitdrukken?
j) Geef een formule voor het aantal veldlijnen, waarbij je gebruik maakt van het gegeven dat 'de veldlijnendichtheid gelijk is aan de veldsterkte'.
k) Wat getalwaarde betreft betekent dat er in de formule voor de veldsterkte absoluutstrepen behoren te staan. Waarom is dat?
Uitwerking vraag (a)
• Fel = f * q * Q / r2
• Met f = 9 * 109 Nm2 / C2 en q = -20 * 10-12 C , Q = 10 * 10-9 C en r = 0.40 m (50 cm – 10 cm)
• Zodat Fel = -1.1 * 10-8 N in de richting van de grote geladen bol.
Uitwerking vraag (b)
• Veldlijnen, die de richting van het elektrische veld aangeven, staan altijd van een positieve lading naar een negatieve.
• Het elektrische veld van de geladen bol staat dus van de bol af.
Uitwerking vraag (c)
• De arbeid gedaan door het veld is gelijk aan de lading maal het potentiaalverschil tussen het begin en eindpunt.
• Wa>b = q (Va – Vb) = q * Uab
• Aangezien de arbeid die gedaan wordt onafhankelijk is van de afgelegde weg, is deze niet te berekenen met de gegeven formule.
• (Aangezien de kracht, de elektrische veldsterkte en het potentiaal wel een verband hebben, is de arbeid wel in zekere zin afhankelijk van de kracht en de afstand maar dit hoef je nu nog niet te kunnen bepalen)
Uitwerking vraag (d)
• Aangezien de arbeid niet afhankelijk is van de afgelegde afstand, maar enkel van het potentiaal verschil tussen begin en eindpunt maakt het dus niet uit over welke weg de testlading naar de bol gebracht wordt.
• Het maakt niet uit voor de gedane arbeid of weg k of weg m wordt genomen
Uitwerking vraag (e)
• Voor een bol geldt: E(r) = f * Q / r2
• Voor een bol geldt: V(r) = - f * Q / r
• In het figuur is eens schets te zien van deze functies
Uitwerking vraag (f)
• Het verband tussen E(r) en V(r) is dat E(r) = V’(r) (de afgeleide van de potentiaal)
Uitwerking vraag (g)
•Wa>b = q(Va – Vb) = -q * f * Q ( 1 / 0.50 – 1 / 0.10) = 1.4 * 10-8 Joule.
Uitwerking vraag (h)
• f = 1/(4 π * ε) geeft ε = 4 π / f
• f = 8.98755 * 109 Nm2 / C2
• geeft ε = 1.40 * 10-9 C2/ Nm2
Uitwerking vraag (i)
• De veldlijnendichtheid van een bol is het aantal veldlijnen (N) per oppervlakte eenheid van een bol. Voor een bol geldt dat de oppervlakte op afstand r gelijk is aan 4 π r2
.• Voor een geladen bol is de grootte voor het elektrische veld (E) en de veldlijnendichtheid (N/m2) aan elkaar gelijk.
• E = N / ( 4 π * r2 )
Uitwerking vraag (j)
• Er geldt dus N = 4 π * r2 * E = 4 π * r2 * F / q
• Aangezien het aantal veldlijnen een natuurlijk getal is (positief en geheel 0,1,2,3,…) maar de lading of de kracht negatief kan zijn (bijvoorbeeld een elektron) moeten er absoluutstrepen komen:
• N = 4 π * r2 | F/q |
