Een opgave van de redactie van Stichting Exaktueel.Op basis van artikelen in de media worden opgaven gemaakt die aansluiten bij het natuurkunde onderwijs op de middelbare school.
Opgave
Vragen en opdrachten
a) De genoemde ondergrondse tunnel is cirkelvorming. Bereken de straal van de cirkelvormige ring waar de protonen met hoge snelheid doorheen schieten.
b) Om de protonen een cirkelvormige baan te laten doorlopen worden ze opgesloten in een magnetisch veld. Leg met behulp van een tekening uit welke krachten daarbij een belangrijke rol spelen.
c) De magneten die om de ring zijn aangebracht worden gekoeld tot -271 °C. Waarom doet men dat?
d) Bereken de energie van de protonen (7 TeV) in joule.
e) Bereken de kinetische energie van een mug met een massa van 0,2 gram die met een snelheid van 0,1 m/s vliegt in joule.
f) Vergelijk de waarden met elkaar. Wat valt je op?
g) Waarom is 7 TeV toch erg veel energie voor een proton?
h) Druk de snelheid van een proton met een energie van 7 TeV uit in (een fractie van) de lichtsnelheid.
Antwoord vraag (a)
Omtrek van een cirkel O = 2πr. Dus r= 27000/2π = 4,3 km.
Antwoord vraag (b)
De protonen zijn positief geladen deeltjes die bewegen in een magnetisch veld. Op bewegende lading in een magnetisch veld wordt de Lorentzkracht uitgeoefend. De richting van die kracht is naar het middelpunt. Draai in gedachte de v-pijl van de protonen naar de B-vector van het magnetisch veld. De voortgaande beweging van een rechtse schroef of kurkentrekker geeft de richting van de Lorentzkracht. Je kunt de richtingen ook vinden met de rechterhandregel: ‘ Vang de stroom op in de palm van je rechterhand en houdt de vingers in de richting van het magnetisch veld; de duim geeft de richting van de Lorentzkracht’. Zie ook figuur
Antwoord vraag (c)
Er zijn enorm sterke magnetische velden nodig om de protonen in hun baan te houden. Dat komt door hun grote snelheid (bijna de lichtsnelheid). Ze vliegen makkelijk uit de bocht.Voor die sterke magneetvelden zijn weer heel grote stromen nodig in de elektromagneten die om de ring heen zitten. Die grote stromen kunnen alleen gemaakt worden in supergeleidend materiaal. Supergeleiding treedt op bij zéér lage temperaturen.
Antwoord vraag (d)
7 TeV = 7∙1012∙1,6∙10-19= 11∙10-7J
Antwoord vraag (e)
Ekin=½mv2= ½ ∙0,2∙10-3∙0,12= 10∙10-7J
Antwoord vraag (f)
De energieën zijn van dezelfde orde.
Antwoord vraag (g)
Voor een proton is dat toch erg veel energie, omdat die zit opgeslagen in een veel kleiner massa. Denk maar aan de energie die er in een kogel zit opgeslagen met een relatief kleine massa, maar met een grote snelheid.
Antwoord vraag (h)
Voor de totale relativistische energie geldt: $E_{totaal} = \gamma mc^2$
Dit gebruiken we nu om met het resultaat van vraag d, uit de $\gamma$ de snelheid te berekenen, als volgt: $11\cdot 10^{-7} = \gamma \cdot 1,67 \cdot 10^{-27}\cdot (2,99\cdot 10^8)^2$
Dit geeft: $\gamma = 7368$ . Waaruit volgt: $\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = 0,999999991$
De snelheid van het proton is: $v = 0,999999991 \cdot c$
