Lisa gaat trampolinespringen op een bungee-trampoline. Zie figuur 1.
Lisa krijgt een tuigje om waaraan twee elastische koorden zijn vastgemaakt. De elastische koorden zitten vast aan staalkabels. Deze kabels worden door een elektromotor om een haspel gewonden. Daardoor wordt Lisa langzaam verticaal omhooggetrokken totdat ze een flink stuk boven de trampoline stil hangt.
Elk elastisch koord heeft een veerconstante van 120 Nm-1 en wordt vanuit ontspannen toestand 3,1 m uitgerekt. Het zwaartepunt van Lisa gaat hierbij 2,3 m omhoog. De massa van Lisa met haar tuigje is 48 kg.
Opgaven
a) Bereken de arbeid die de elektromotor hiervoor moet verrichten.
De situatie waarbij ze stil hangt is schematisch weergegeven in figuur 2.
b) Bepaal met behulp van een constructie in figuur 2 de grootte van de kracht in één elastisch koord.
Vervolgens wordt Lisa door een helper omlaag getrokken totdat haar voeten de trampoline raken en zij zich kan afzetten. Na een aantal keren afzetten maakt Lisa hoge, verticale sprongen. Zij komt hierbij niet boven de stellage uit. Van de sprongen worden met een videocamera opnamen gemaakt. Op grond hiervan is een (v,t)-grafiek gemaakt van het zwaartepunt van Lisa.
Zie figuur 3.
c) Bepaal met behulp van figuur 3 het maximale hoogteverschil van het zwaartepunt van Lisa tijdens één sprong.
d) Ga met behulp van een bepaling in figuur 3 na of in het hoogste punt van de beweging de elastieken nog krachten uitoefenen op Lisa.
De (v,t)-grafiek van figuur 3 is geen zuivere sinus. De beweging van Lisa is dus geen harmonische trilling. Dit is geen gevolg van wrijvingskrachten of van de invloed van de wind. De oorzaak is dat de resulterende kracht op Lisa niet rechtevenredig is met de uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand.
e) Geef hiervoor twee redenen.
De sprongen van Lisa worden nagebootst in een model. Dit levert het diagram van figuur 4.
In figuur 4 staan energieën weergegeven als functie van de tijd:
- kinetische energie Ek
- zwaarte-energie Ez
- veerenergie van de elastieken Ev-el
- veerenergie van de trampoline Ev-tr
- totale energie Etot
f) Vul in onderstaande tabel in hoe bovengenoemde energiën corresponderen met de grafieken 1 tot en met 5.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De motor moet arbeid verrichten door het gewicht van het meisje én door het uitrekken van de koorden:
De zwaarte-energie van het meisje: W = Ez = mgh = 48*9,81*2,3 = 1,0 kJ.
De energie van het uitrekken van de twee koorden: W = Eveer = 2 * ½Cu2 = 120 * 3,12 = 1,2 kJ.
De totale arbeid is dus: W = 1,0 + 2,2 kJ = 2,2 kJ.
Uitwerking vraag (b)
Bereken eerst de zwaartekracht: Fz = mg = 48 *9,81 = 4,7 *102 N. Deze kun je bijvoorbeeld tekenen als 4,7 centimeter in de figuur, recht omlaag vanuit het midden van het meisje.
Teken dan de tegengestelde kracht, die de twee koorden samen moeten leveren, dus recht omhoog en ook 4,7 centimeter lang. Tot slot teken je een lijn vanuit het uiteinde van de tegengestelde kracht, die evenwijdig loopt aan één van de koorden. Het punt waar deze lijn het andere koord snijdt, is het uiteinde van de kracht op dat koord. Opmeten: 3,7 cm. Dit komt dus overeen met 3,7*102 N.
Uitwerking vraag (c)
Bedenk eerst dat de snelheid van het meisje nul is, op het moment dat ze op het hoogste en laagste punt is. Het hoogteverschil tussen deze punten is gelijk aan vt, dat is de oppervlakte van de v,t-grafiek tussen twee nulpunten. Bepaal deze oppervlakte en je hebt het hoogteverschil. Je kunt dit doen door er een benadering van te maken, bijvoorbeeld een rechthoek of een driehoek. Het resultaat: ongeveer 4,6 m.
Uitwerking vraag (d)
Als de elastieken geen invloed meer uitoefenen op het hoogste punt, is de versnelling gelijk aan g (=9,81 m/s2). Dit kunnen we controleren door in de grafiek de steilheid te meten op een dalend gedeelte, bij een punt dat door nul gaat. Neem bijvoorbeeld de tweede daling en trek hier een lijn langs. De versnelling is dan: a = ∆v / ∆t = (-5 - 5) / (5,4 - 3,8) = -6,25 m/s2.
Dit is absoluut gezien (6,25), kleiner dan de valversnelling (9,81), dus de elastieken trekken het meisje ook op het hoogste punt nog iets omhoog, zodat ze minder naar onder versnelt.
Uitwerking vraag (e)
- De elastische koorden hangen niet verticaal;
- De trampoline wordt rond het laagste punt ingedrukt.
Uitwerking vraag (f)
- De totale energie moet altijd gelijk zijn, dus Etot is een constante, rechte lijn.
- De zwaarte-energie is E=mgh, oftewel, hoe hoger, hoe groter de energie.
- De energie van de elastieken wordt groter hoe verder ze zijn uitgerekt, dus hoe lager het meisje zich bevindt.
- De kinetische energie: E=½mv2 is groter als de snelheid groter is. Let op dat de kinetische energie afhangt van de snelheid in het kwadraat. Dus ook als de snelheid negatief is, is de kinetische energie positief.
- De energie van de trampoline is groot als het meisje de trampoline uitrekt.
