De spectrale resolutie van een bepaald type spectrometer is 12 pm. Dit betekent dat deze spectrometer één waarde van de intensiteit meet per golflengtebandje van 12 pm breed. Deze golflengtebandjes zijn te zien in de meting van de $H_{a}$ -lijn in figuur 5. De stippellijn geeft de vorm van de emissielijn die het best past bij de intensiteiten in de golflengtebandjes. In een gasontladingslamp bevindt zich een gas in een afgesloten buis. Als de lamp wordt aangezet, komen de gasatomen in een aangeslagen toestand en zenden vervolgens licht uit. In figuur 1 staat het spectrum van een gasontladingslamp die gevuld is met een mengsel van waterstofgas en een ander gas.
a. Geef aan welk ander gas aanwezig is in de lamp. Gebruik tabel 20 uit Binas of tabel 5.1e uit ScienceData.
helium, 1 punt
De emissielijn bij 656 nm wordt uitgezonden door waterstofatomen die terugvallen van de tweede naar de eerste aangeslagen toestand. Deze emissielijn wordt $H_{a}$ genoemd. Figuur 2 toont een nauwkeurige meting van het spectrum rond de $H_{a}$ -lijn.
Uit figuur 2 blijkt dat $H_{a}$ bij 656,28 nm ligt. Om de golflengte van $H_{a}$ ook met deze nauwkeurigheid te berekenen, moeten de energieniveaus (in eV) van het waterstofatoom nauwkeurig bekend zijn. Er geldt:
$E_{n}=-\frac{13,5983}{n^{2}}$ (1)
Ook moet er rekening worden gehouden met het feit dat de meting van het spectrum in figuur 2 in lucht is uitgevoerd. In lucht is de lichtsnelheid kleiner dan in vacuüm, namelijk $c_{lucht}=2,99706\cdot 10^{8}ms^{-1}$ .
b. Toon met bovenstaande gegevens aan dat de golflengte van $H_{a}$ in lucht gelijk is aan 656,28 nm.
De $H_{a}$ -lijn hoort bij de overgang van de tweede naar de eerste aangeslagen toestand, dus van n = 3 naar n = 2. De bijbehorende fotonenergie is: $E_{f}=E_{3}-E_{2}=-\frac{13,5983}{3^{2}}--\frac{13,5983}{2^{2}}=1,88865eV$ . Er geldt $E_{f}=\frac{hc}{\lambda}$ , waaruit volgt dat de golflengte in lucht gelijk is aan $\lambda=\frac{hc}{E_{f}}=\frac{6,62607\cdot 10^{-34}\cdot 2,99706\cdot 10^{8}}{1,88865 \cdot 1,60218\cdot 10^{-19}}=6,56279\cdot 10^{-9}m=656,28nm$ .
| inzicht dat $E_{f}=E_{3}-E_{2}$ | 1 punt |
| gebruik van formule (1) en omrekenen van eV naar J | 1 punt |
| gebruik van $E_{f}=\frac{hc}{\lambda}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
In figuur 2 is te zien dat de $H_{a}$ -lijn een breedte heeft. Er worden dus ook fotonen waargenomen met een iets grotere en iets kleinere golflengte dan 656,28 nm. De oorzaak hiervan is het dopplereffect ten gevolge van de beweging van de waterstofatomen in de lamp. In figuur 3 is een dwarsdoorsnede van de lamp getekend. Hierin is de willekeurige beweging van de waterstofatomen schematisch weergegeven. De pijlen geven de richting en grootte van de snelheid van individuele atomen aan. Het licht dat de atomen uitzenden, wordt waargenomen met een spectrometer die zich aan de rechterkant van de lamp bevindt.
Op de uitwerkbijlage staat figuur 3 met alleen de atomen 1, 2 en 3. Deze drie atomen behoren tot de snelst bewegende waterstofatomen in de lamp. De $H_{a}$ -lijn uit figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. Er zijn daar vijf verschillende golflengtegebieden A t/m E aangegeven. Het uitgezonden licht van elk van de drie atomen wordt door de spectrometer in een ander golflengtegebied waargenomen.
Uitwerkbijlage: 
c. Kruis in de tabel op de uitwerkbijlage bij elk atoom het juiste
golflengtegebied aan.
| atoom 1 correct | 1 punt |
| atoom 2 en 3 correct | 1 punt |
Als de temperatuur T van het gas in de lamp hoger wordt, neemt de gemiddelde kinetische energie van de gasatomen toe. Het dopplereffect wordt dan sterker en de emissielijn breder. De breedte b van een emissielijn wordt gemeten op de helft van de maximale intensiteit. Zie figuur 4.
De fotonen die worden waargenomen bij een dopplerverschuiving $\Delta \lambda=\frac{1}{2}b$ zijn uitgezonden door gasatomen die met een kinetische energie $E_{k,x}=ln 2\cdot k_{B}T$ naar de spectrometer toe of van de spectrometer af bewegen. Hieruit volgt het verband tussen de breedte van de emissielijn en de temperatuur van het gas:
$b \propto \sqrt{T}$ (2)
d. Leid dit verband af.
Voor de dopplerverschuiving geldt $\Delta \lambda=\frac{v_{x}}{c}\cdot \lambda $ , , met $v_{x}$ de snelheid van de gasatomen naar de spectrometer toe of van de spectrometer af. Hieruit volgt dat $\Delta \lambda $ $\propto v_{x}$ . De kinetische energie van de gasatomen is $E_{k,x}=\frac{1}{2}mv_{x}^{2}=ln2\cdot kT$ , dus $v_{x}\propto \sqrt{T}$ . Combineren van beide evenredigheden met $b=2\Delta \lambda $ geeft $b\propto\sqrt{T}$
| inzicht dat $\Delta \lambda \propto v$ | 1 punt |
| inzicht dat $v \propto \sqrt{E_{k}}$ | 1 punt |
| completeren van de afleiding | 1 punt |
De spectrale resolutie van een bepaald type spectrometer is 12 pm. Dit betekent dat deze spectrometer één waarde van de intensiteit meet per golflengtebandje van 12 pm breed. Deze golflengtebandjes zijn te zien in de meting van de $H_{a}$ -lijn in figuur 5. De stippellijn geeft de vorm van de emissielijn die het best past bij de intensiteiten in de golflengtebandjes.
Wetenschappers hebben uit figuur 5 bepaald dat de temperatuur van het waterstofgas gelijk is aan $5,9\cdot 10^{3}$ K. Zij willen met dezelfde spectrometer ook meten aan een andere gasontladingslamp, met een temperatuur van ongeveer 500 K.
e. Toon met behulp van formule (2) aan of de temperatuur van deze andere lamp met dezelfde spectrometer gemeten kan worden.
methode 1
De temperatuur van de andere gasontladingslamp is $\frac{5,9\cdot 10^{3}}{500}=11,8$ keer zo klein, dus de emissielijn wordt $11,8^{\frac{1}{2}}=3,4 $ keer zo smal. Bij $5,9\cdot 10^{3}$ K vallen er maar 3 golflengtebandjes / meetpunten binnen de breedte b. Daarom zal bij temperaturen rond 500 K de volledige breedte van de emissielijn binnen 1 golflengtebandje vallen. De breedte kan dan niet afgelezen worden en de temperatuur niet bepaald worden.
| gebruik van $b\propto \sqrt{T}$ en berekenen van de verhouding van de breedtes | 1 punt |
| bepalen van het aantal meetpunten binnen b bij $5,9\cdot 10^{3}$ K | 1 punt |
| inzicht dat er meerdere golflengtebandjes / meetpunten nodig zijn om b te bepalen en consequente conclusie |
1 punt |
methode 2
De temperatuur van de andere gasontladingslamp is $\frac{5,9\cdot 10^{3}}{500}=11,8$ keer zo klein, dus de breedte van de emissielijn is $11,8^{\frac{1}{2}}=3,4$ keer zo klein. Bij $5,9\cdot 10^{3}$ K is de breedte van de emissielijn ongeveer 0,032 nm. De breedte bij 500 K wordt $\frac{0,032}{3,4}=0,0094 nm=9,4pm$ en dit is kleiner dan de spectrale resolutie. Het is niet mogelijk om de temperatuur nauwkeurig te bepalen.
| bepalen van b bij $5,9\cdot 10^{3}$ K | 1 punt |
| gebruik van $b\propto \sqrt{T}$ en berekenen van b bij 500 K | 1 punt |
| inzicht dat de breedte bij 500 K vergeleken moet worden met de spectrale resolutie en consequente conclusie |
1 punt |
