In 1977 maakte de ruimtesonde Viking 1 een foto van Phobos. Zie figuur 1. Phobos is een maan van de planeet Mars.
In tabel 1 staan de gegevens over Phobos die bij deze opgave gebruikt moeten worden.
Figuur 1, bron: Wikimedia Commons
In figuur 1 zijn een grote inslagkrater en lange sporen over het oppervlak te zien. Over het ontstaan van de sporen zijn verschillende hypotheses opgesteld. Een daarvan luidt dat er rotsblokken werden weggeslingerd tijdens de inslag waardoor de krater ontstond. Deze rotsblokken kwamen met een snelheid in het gebied buiten de krater neer en werden na het
neerkomen langzaam afgeremd door de schuifwrijvingskracht. Daarbij werden de sporen over het oppervlak van Phobos getrokken.
Model 1
Men onderzoekt deze hypothese eerst met een eenvoudig model. Daarin wordt de kromming van het oppervlak van Phobos verwaarloosd. In het model gelden de volgende regels:
1 Er werken drie krachten op het rotsblok: de zwaartekracht , de normaalkracht $F_{N}$ en de schuifwrijvingskracht $F_{W}$ .
2 De schuifwrijvingskracht is gelijk aan $F_{W}=0,25\cdot F_{N}$ .
3 Het rotsblok schuift over een horizontaal vlak, waarbij $F_{N}=F_{Z}$ .
Sommige sporen lopen helemaal om Phobos heen. Volgens model 1 komt een rotsblok met een beginsnelheid van $14ms^{-1}$ na precies 1 ronde van $6,9\cdot 10^{4}m$ tot stilstand.
a. Toon dit aan.
methode 1
Ten gevolge van de schuifwrijvingskracht neemt de kinetische energie van het rotsblok af. Er geldt $\Delta E_{k}=\Sigma W$ met $\Delta E_{k}=(-)\frac{1}{2}mv^{2}_{begin}$ en $\Sigma W=W_{w}=(-)F_{w}s$ .
De schuifwrijvingskracht $F_{w}$ is gelijk aan $0,25\cdot F_{N}=0,25\cdot F_{Z}=0,25\cdot mg$ .
Hieruit volgt $s=\frac{\Delta E_{k}}{F_{w}}=\frac{\frac{1}{2}mv^{2}_{begin}}{0,25\cdot mg}=\frac{2v^{2}_{begin}}{g}=\frac{2\cdot 14^{2}}{5,7\cdot 10^{-3}}=6,9\cdot 10^{4}m$ .
| gebruik van $\Delta E_{k}=\Sigma W$ | 1 punt |
| gebruik van $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ en $W=Fs$ | 1 punt |
| inzicht dat $F_{w}=0,25\cdot mg$ met $g=5,7\cdot 10^{-3}$ $ms^{-2}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
methode 2
Omdat de schuifwrijvingskracht constant is, is de beweging eenparig vertraagd. Uit $F_{res}=ma$ en $F_{w}=0,25\cdot mg$ volgt $a=0,25g$ .
Met $a_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ volgt hieruit voor de remtijd: $\Delta t=\frac{\Delta v}{a}=\frac{14}{0,25\cdot 5,7\cdot 10^{-3}}=9,82\cdot 10^{3}s$ .
De gemiddelde snelheid is $v_{gem}=\frac{v_{begin}+v_{eind}}{2}=\frac{14+0}{2}=7,0ms^{-1}$ , dus de
remafstand is $\Delta x=v_{gem}\cdot \Delta t=7,0\cdot 9,82\cdot 10^{3}$ $=6,9\cdot 10^{4}m$ .
| gebruik van $F_{res}=ma$ en $a_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ | 1 punt |
| inzicht dat $F_{w}=0,25\cdot mg$ met $g=5,7\cdot 10^{-3}ms^{-2}$ | 1 punt |
| gebruik van $v_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ en inzicht dat $v_{gem}=\frac{1}{2}v_{begin}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
De beginsnelheid van $14ms^{-1}$ die volgt uit model 1 is groter dan de ontsnappingssnelheid van een object op Phobos.
b. Bereken deze ontsnappingssnelheid met behulp van de gegevens in tabel 1.
(Bij de ontsnappingssnelheid geldt: $E_{g}+E_{k}=-G\frac{mM}{R}+\frac{1}{2}mv^{2}_{o}=0$ .)
Uit $ \frac{1}{2}mv^{2}_{o}=G\frac{mM}{R}$ volgt $v_{0}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 1,07\cdot 10^{16}}{1,11\cdot 10^{4}}}=11,3ms^{-1}$
| inzicht dat $\frac{1}{2}mv^{2}_{o}=G\frac{mM}{R}$ | 1 punt |
| opzoeken van G en gebruik van R en M van Phobos | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Opmerking
Bij een berekening waarin niet consequent is omgegaan met de mintekens mag het derde scorepunt niet worden toegekend.
Een rotsblok met de beginsnelheid die volgt uit model 1 zou van Phobos ontsnappen en geen spoor over het oppervlak trekken. Er is dus een gedetailleerder model nodig om de hypothese over het ontstaan van de sporen te toetsen.
Model 2
In model 2 wordt aangenomen dat Phobos bolvormig is en dat het rotsblok in een cirkelbaan over het oppervlak van Phobos beweegt. Figuur 2 toont het bijbehorende computermodel. De afgelegde afstand s wordt (in regel 7) steeds met een stapje ter grootte van ds opgehoogd,
waarna de andere grootheden opnieuw worden berekend.
In figuur 3 is voor beide modellen de grafiek van de kinetische energie $E_{k}$ van het rotsblok als functie van s getekend. Bij gelijke beginsnelheid is de lengte van het spoor volgens model 2 veel groter dan volgens model 1.
In figuur 3 is te zien dat het energieverlies per afgelegde meter aan het eind van het spoor bij beide modellen even groot is.
c. Leg uit hoe dit resultaat verklaard wordt met behulp van de modelregels van model 2 en model 1.
Naarmate het rotsblok dichter bij het eind van het spoor komt, wordt zijn snelheid kleiner, waardoor ook de benodigde middelpuntzoekende kracht kleiner wordt. De wrijvingskracht in model 2 benadert dan steeds meer die in model 1 (waardoor de afname van de kinetische energie per afgelegde meter aan het einde van het spoor gelijk is aan die in model 1).
| inzicht dat $F_{w}$ als gevolg van de benodigde $F_{mpz}$ in model 2 kleiner is dan in model 1 | 1 punt |
| inzicht dat $F_{w}$ aan het eind van het spoor in beide modellen vrijwel even groot is | 1 punt |
Met model 2 is de lengte van het spoor bij verschillende beginsnelheden van het rotsblok bepaald. Zie figuur 4.
Uit figuur 4 blijkt dat het rotsblok precies een volledige ronde over het oppervlak van Phobos kan maken bij een beginsnelheid die lager is dan de ontsnappingssnelheid.
d. Bepaal deze beginsnelheid. Noteer je antwoord in drie significante cijfers.
uitkomst: $v_{b}=7,78 ms^{-1}$ , 1 punt
Opmerking
$v_{b}=7,77ms^{-1}$ ook goedrekenen.
In figuur 4 is ook te zien dat de lengte van het spoor bij grotere beginsnelheden steeds sterker toeneemt. Bij een bepaalde beginsnelheid $v_{grens}$ blijft het rotsblok oneindig lang door bewegen in de cirkelbaan over het oppervlak van Phobos. Het computermodel geeft dan geen uitkomst voor de lengte van het spoor. $v_{grens}$ is kleiner dan de ontsnappingssnelheid.
e. Voer de volgende opdrachten uit:
i) Bereken $v_{grens}$ .
methode 1
Het rotsblok kan oneindig lang door bewegen als er geen wrijvingskracht is. Dit betekent dat de normaalkracht nul is. Aan het oppervlak van Phobos geldt dan (volgens modelregel 3) dat $0=F_{z}-F_{mpz}$ . Hieruit volgt $F_{z}=F_{mpz}$ dus $mg=\frac{mv^{2}_{grens}}{R}$ $\to v_{grens}=\sqrt{gR}=\sqrt{5,7\cdot 10^{-3}\cdot 1,11\cdot 10^{4}}=8,0ms^{-1}$ .
| inzicht dat $F_{N}=0$ / inzicht dat $F_{z}=F_{mpz}$ | 1 punt |
| gebruik van $F_{z}=mg$ en $F_{mpz}=\frac{mv^{2}}{r}$ met $r=R_{phobos}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
methode 2
In een cirkelbaan geldt $F_{mpz}=F_{g}$ dus $\frac{mv^{2}}{r}=G\frac{mM}{r^{2}}$ , waarbij de kleinst mogelijke baanstraal gelijk is aan de straal R van Phobos. Hieruit volgt $\frac{v^{2}_{grens}}{R}=G\frac{M}{R^{2}}$ en $v_{grens}=\sqrt{G\frac{M}{R}}=\sqrt{6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{1,07\cdot 10^{16}}{1,11\cdot 10^{4}}}=8,02ms^{-1}$ .
| inzicht dat $F_{mpz}=F_{g}$ | 1 punt |
| gebruik van $F_{mpz}=\frac{mv^{2}}{r}$ en $F_{g}=G\frac{mM}{r^{2}}$ met $r=R_{Phobos}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
ii) Geef aan wat er met het rotsblok gebeurt bij beginsnelheden tussen $v_{grens}$ en de ontsnappingssnelheid.
Het rotsblok beweegt voor $v_{grens}< v< v_{o}$ in een baan boven het oppervlak van Phobos.
1 punt
