Bij een Australisch mijnbouwbedrijf gebruikt men in een sensor voor bodemonderzoek een capsule met radioactief cesium-137. Cesium-137 kan op verschillende manieren vervallen naar een stabiele dochterkern. In figuur 1 zijn de twee meest voorkomende vervalprocessen weergegeven.
a. Leg uit welk element in figuur 1 bedoeld wordt met X.
( $_{55}^{137}Cs\to_{56}^{137}Ba+_{-1}^{0}e$ ) Bij het verval van Cs-137 naar X wordt een bèta-min-deeltje uitgezonden. Het atoomnummer neemt dus met 1 toe van 55 naar 56. Dit is het atoomnummer van het element barium.
| inzicht dat bij bèta-min-verval het atoomnummer met 1 toeneemt | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
De capsule moet vervangen worden zodra de activiteit van het cesium met 30% is afgenomen.
b. Bepaal na hoeveel jaar de cesiumcapsule vervangen moet worden.
Wanneer de capsule vervangen wordt heeft deze nog $100%-30%=70%$
van de oorspronkelijke activiteit. Uit figuur 1 / Binas-tabel 25A /
ScienceData-tabel 1.11 volgt dat de halveringstijd van Cs-137 gelijk is aan 30 jaar.
Er geldt $A=A_{0}(\frac{1}{2})^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}}$ , dus $\frac{A}{A_{0}}=0,70=(\frac{1}{2})^{\frac{t}{30}}$ . Hieruit volgt: $log(0,70)=\frac{t}{30}\cdot log(\frac{1}{2})\to t=30\cdot \frac{log(0,70)}{log(\frac{1}{2})}=15(j)$ .
| gebruik van $A=A_{0}(\frac{1}{2})^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}}$ met $t_{\frac{1}{2}}=30y$ | 1 punt |
| inzicht dat $\frac{A}{A_{0}}=0,70$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Om de capsule te vervangen wordt de sensor naar een onderhoudslocatie gebracht. In januari 2023 ontdekten werknemers van het mijnbouwbedrijf dat ergens langs een 1400 km lange route een capsule was zoekgeraakt. De Australische overheid was bang dat iemand de capsule langs de weg zou vinden, en deze zonder na te denken in zijn of haar broekzak zou steken.
De wand van de capsule absorbeert alle bètastraling, maar laat de gammastraling ten gevolge van vervalproces (1b) uit figuur 1 grotendeels door. Deze gammastraling kan leiden tot schade aan menselijk weefsel. Een gemiddelde persoon heeft een massa van 74 kg. Op 1,0 m afstand van de capsule absorbeert deze persoon per uur $3\cdot 10^{12}$ f otonen van 662 keV. Tabel 1 geeft dosisequivalenten van verschillende röntgenfoto’s. 
In de Australische media werd beweerd dat het dosisequivalent dat een persoon op 1 meter van de capsule in 1 uur zou ontvangen, overeenkomt met het dosisequivalent van zeven röntgenfoto’s.
c. Leg met een berekening uit met welk type röntgenfoto in tabel 1 het dosisequivalent in deze bewering is vergeleken.
Het dosisequivalent ten gevolge van de straling van de capsule is $H=w_{R}D=w_{R}\frac{E}{m}$ . (De weegfactor $w_{R}$ van gammastraling is 1.)
De geabsorbeerde stralingsenergie in een uur is $E=N\cdot E_{y}=3\cdot 10^{12}\cdot 662\cdot 10^{3}\cdot 1,60\cdot 10^{-19}=0,32J$ .
Daarmee is het dosisequivalent in een uur $H=1\cdot \frac{0,32}{74}=4,3\cdot 10^{-3}$ Sv=4,3mSv.
Dit komt overeen met zeven keer het dosisequivalent ten gevolge van een röntgenfoto van de onderrug.
| gebruik van $H=w_{R}D$ en $D=\frac{E}{m}$ | 1 punt |
| inzicht dat $E=N\cdot E_{y}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening van H | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
Er werd een zoekactie gestart waarbij een auto met een stralingsdetector langs de route reed. Zie figuur 2. Deze figuur is niet op schaal getekend.
De activiteit van het cesium in de capsule is 19 GBq. Vervalproces (1b) Komt voor bij 85% van alle cesium-137-kernen die vervallen. De wand van de capsule laat 96% van de gammastraling door. De oppervlakte van de detector is $6,3cm^{2}$ . Voor een bruikbaar signaal moeten er per seconde minimaal $2,0\cdot 10^{3}$ gammafotonen op dit oppervlak vallen.
d. Bereken de maximale afstand waarop de capsule nog gedetecteerd kan worden.
Er komen per seconde $19\cdot 10^{9}\cdot 0,85\cdot 0,96=15,5\cdot 10^{9}$ gammafotonen uit de capsule. Deze fotonen worden in alle richtingen verspreid, dus op een afstand r is het aantal fotonen dat per seconde door een vierkante meter gaat gelijk aan $\frac{15,5\cdot 10^{9}}{4\pi r^{2}}$ .
Op het detectoroppervlak van $6,3cm^{2}$ komen per
seconde $\frac{15,5\cdot 10^{9}}{4\pi r^{2}}\cdot 6,3\cdot 10^{-4}=\frac{9,77\cdot 10^{6}}{4\pi r^{2}}$ fotonen terecht.
Er moeten minimaal $2,0\cdot 10^{3}$ fotonen op het detectoroppervlak vallen.
Hieruit volgt $2,0\cdot 10^{3}=\frac{9,77\cdot 10^{6}}{4\pi r^{2}}\to r=\sqrt{\frac{9,77\cdot 10^{6}}{4\pi \cdot 2,0\cdot 10^{3}}}=20m$ .
| correct toepassen van de factoren 0,85 en 0,96 | 1 punt |
| inzicht dat het aantal fotonen per s per $m^{2}$ evenredig is met $\frac{1}{r^{2}}$ | 1 punt |
| inzicht dat het aantal fotonen dat op de detector valt evenredig is met de oppervlakte van de detector | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
De capsule is gevonden in de berm op twee meter van de weg. Uit een rekenmodel blijkt dat passerende automobilisten weinig gevaar hebben ondervonden van de straling uit de capsule. Het model berekent het dosisequivalent dat een persoon per seconde ontvangt op verschillende posities x langs de weg. Op de uitwerkbijlage staat een grafiek met het resultaat van die berekening. Op x = 0 bevindt de auto zich het dichtst bij de capsule. Neem aan dat een automobilist de capsule passeert met een constante snelheid van $90kmh^{-1}$ .
Uitwerkbijlage:
e. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het extra dosisequivalent dat de automobilist op het weergegeven traject ondervindt. Noteer je antwoord in één significant cijfer.
methode 1
Het gemiddelde dosisequivalent per seconde is in het weergegeven traject $0,03\mu Svs^{-1}$ . De automobilist rijdt met een constante snelheid van $90kmh^{-1}=25ms^{-1}$ en doet $t=\frac{s}{v}=\frac{\Delta x}{v}=\frac{40}{25}=1,6s$ over het traject. Het extra dosisequivalent is $H=0,03\cdot 1,6=0,048\mu Sv$ . Afronden op 1 significant cijfer geeft $H=0,05\mu Sv$ .
| inzicht dat H=gemiddelde dosisequivalent per seconde $\cdot \Delta t$ | 1 punt |
| schatten van het gemiddelde dosisequivalent per seconde | 1 punt |
| gebruik van $s=vt$ , met v constant | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
methode 2
De horizontale as kan worden omgezet in een tijd-as, waarbij iedere verplaatsing van 5 m langs de as overeenkomt met een tijdsduur $\Delta t=\frac{\Delta x}{v_{gem}}=\frac{5,0}{(\frac{90}{3,6})}=0,20s$ .
Het oppervlak onder de grafiek geeft dan het totale extra dosisequivalent. Er liggen 23 hokjes onder de grafiek, waarbij ieder hokje overeenkomt met een extra dosisequivalent van $0,01\mu Svs^{-1}\cdot 0,20s=0,002\mu Sv$ . Het totale extra dosisequivalent is $23\cdot 0,002=0,046\mu Sv$ . Afronden op 1 significant cijfer geeft $H=0,05\cdot \mu Sv$ .
| inzicht dat de horizontale as omgerekend kan worden naar een tijd-as en dat H dan overeenkomt met de oppervlakte onder de grafiek | 1 punt |
| toepassen van een juiste methode om de oppervlakte onder de grafiek te bepalen | 1 punt |
| gebruik van $v_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
