De Morpho didius is een vlinder waarvan de vleugels felblauw zijn. Onderzoekers hebben verschillende hypotheses opgesteld over de
oorzaak van deze kleur. Een van de hypotheses is dat de vleugels een
pigment bevatten. Een pigment is een chemische stof waarvan de moleculen licht met bepaalde golflengtes absorberen. Een pigment dat fotonen met een energie van 2,1 eV absorbeert, heeft een felblauwe tint. Een bepaald natuurlijk pigment bestaat uit moleculen met een lengte van 1,27 nm. Acht elektronen bewegen vrij over de gehele lengte van het molecuul. De energieniveaus van die elektronen kunnen berekend worden met het model van een oneindig diepe eendimensionale energieput. De verdeling van de elektronen over de energieniveaus waarbij de totale energie minimaal is, noemen we de grondtoestand van het molecuul.
a. Toon met een berekening aan dat de kleinst mogelijke energieopname
vanuit de grondtoestand van dit molecuul overeenkomt met de absorptie-energie van een blauw pigment.
(Elk energieniveau kan volgens het uitsluitingsprincipe van Pauli maximaal
twee elektronen bevatten.) In de grondtoestand zijn de eerste vier
energieniveaus gevuld. De kleinst mogelijke energieopname komt overeen
met de overgang van een elektron van n = 4 naar n = 5. Bij deze overgang
absorbeert het molecuul een foton met een energie $E_{f}=E_{5}-E_{4}$ . Met $E_{n}=\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}$ volgt hieruit: $E_{f}=(5^{2}-4^{2})\frac{h^{2}}{8mL^{2}}=9\cdot \frac{(6,626\cdot 10^{-34})^{2}}{8\cdot 9,109\cdot 10^{-31}\cdot(1,27\cdot 10^{-9})^{2}}=3,36\cdot 10^{-19}J=2,1eV$
(Dit komt overeen met de absorptie-energie van een blauw pigment.)
| gebruik van $E_{f}=E_{m}-E_{n}$ met $m=n+1$ | 1 punt |
| inzicht dat n = 4 | 1 punt |
| gebruik van $E_{n}=\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}$ met opzoeken van h en de elektronmassa | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Kleur kan ook verklaard worden uit de oppervlaktestructuur van een materiaal. Figuur 1 toont een elektronenmicroscoopfoto van de doorsnede van de vleugel. Het oppervlak is bedekt met smalle verticale richels die ieder weer opgebouwd zijn uit horizontale lamellen. In figuur 2 is de doorsnede van één richel schematisch weergegeven.
Figuur 1(vervangen), bron: Wikimedia Commons
Licht dat loodrecht op de opengeklapte vleugel valt, gaat gedeeltelijk door
de lamellen heen en wordt gedeeltelijk teruggekaatst op de grensvlakken
tussen de lamellen en lucht. In figuur 3 is dit schematisch weergegeven
voor twee achtereenvolgende lamellen.
In het materiaal van de lamellen is de voortplantingssnelheid van licht 1,5 keer kleiner dan in lucht. De frequentie van het licht is onafhankelijk van het materiaal. In lucht heeft blauw licht een golflengte van 480 nm.
b. Voer de volgende opdrachten uit:
i) Bepaal het faseverschil dat ontstaat tussen blauw licht dat terugkaatst op lamel 1 en blauw licht dat terugkaatst op lamel 2.
- Vergeleken met lichtgolven die direct op lamel 1 terugkaatsen, moeten
lichtgolven die terugkaatsen op lamel 2 heen en terug door lamel 1 en
door de luchtlaag tussen lamel 1 en 2. Het faseverschil dat hierdoor ontstaat is gelijk aan $\Delta $ φ= $\frac{\Delta x_{lamel}}{\lambda_{lamel}}+\frac{\Delta x_{lucht}}{\lambda_{lucht}}=\frac{2d_{lamel}}{\lambda lamel}+\frac{2d_{lucht}}{\lambda_{lucht}}$ .
Uit $v=\lambda f$ (met $f $ constant) volgt dat de golflengte in een lamel 1,5 keer
kleiner is dan in lucht, dus $\lambda_{lamel}=\frac{480}{1,5}=320nm$ . Het faseverschil dat ontstaat is $\Delta $ φ= $\frac{2\cdot 80}{320}+\frac{2\cdot 120}{480}=1,0$
| gebruik van $\Delta $ φ= $\frac{\Delta x}{\lambda}$ | 1 punt |
| in rekening brengen van de factor 2 | 1 punt |
| inzicht dat $\lambda_{lamel}=\frac{\lambda_{lucht}}{1,5}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling van $\Delta $ φ | 1 punt |
ii) Verklaar hiermee de blauwe kleur van de vlinder.
Er is sprake van constructieve interferentie, waardoor de blauwe kleur
versterkt wordt (en lichtgolven met andere golflengtes juist uitdoven).
| inzicht dat er sprake is van constructieve interferentie van blauw licht | 1 punt |
Wanneer de vleugel onder een hoek wordt bekeken, heeft hij nog steeds
een blauwe tint. Dit blijkt ook uit figuur 4, waarin een meting is afgebeeld
van de intensiteit van het teruggekaatste blauwe licht als functie van de hoek waaronder men de vleugel waarneemt.
De twee buitenste maxima in figuur 4 kunnen niet verklaard worden vanuit de lamellenstructuur, maar wel vanuit de regelmatige lijnstructuur van de richels op de vleugel. Deze is te zien in figuur 1 en in de schematische doorsnede in figuur 5. De lijnstructuur werkt als een tralie voor het teruggekaatste licht.
c. Bepaal met behulp van het diagram op de uitwerkbijlage het aantal richels per centimeter op de vleugel. Noteer je antwoord in twee significante
cijfers.
voorbeeld van een antwoord:
Uit het diagram op de uitwerkbijlage blijkt dat het eerste-orde-maximum
voor het blauwe licht bij 50° ligt. Volgens de tralieformule geldt bij dit eerste-orde-maximum: $d\cdot sin(50)=1\cdot \lambda $ . Hieruit volgt $d=\frac{480}{sin(50)}=627nm$ . Het aantal richels is $\frac{1}{627\cdot 10^{-9}}=1,6\cdot 10^{6}m^{-1}$ , dus $1,6\cdot 10^{4}$ per cm.
Opmerking
Bij een opgemeten hoek van 48o is de uitkomst $1,5\cdot 10^{4}(cm^{-1})$ .
| gebruik van $d\cdot sin \alpha_{n}=n\cdot \lambda $ | 1 punt |
| inzicht dat n = 1 en aflezen van $a_{1}$ tussen 48° en 52° | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
