De parallaxmethode is een manier om de afstand tot een ster te bepalen. Door de beweging van de aarde rond de zon lijkt de positie van een nabije ster te verschuiven ten opzichte van verder weg gelegen sterren. Na een periode van een half jaar is de schijnbare verplaatsing maximaal. Zie figuur 1.
Hoek p in figuur 1 wordt de parallax genoemd. Hoe groter de afstand d tot
de ster, des te kleiner is de parallax. Rond het jaar 1900 was de kleinste
parallax die kon worden gemeten $3\cdot 10^{-5}$ graad. Afstanden in de
ordegrootte van $10^{18}m$ en groter waren toen nog niet te onderscheiden.
a. Toon dit aan.
voorbeeld van een antwoord:
Er geldt: $tan(p)=\frac{r}{d}$ , waarbij r gelijk is aan de baanstraal van de aarde.
Hieruit volgt bij een minimale parallax van $3\cdot 10^{-5\circ}$ dat de maximale
afstand die nog kan worden bepaald gelijk is aan $d=\frac{1,5\cdot 10^{11}}{tan(3\cdot 10^{-5})}=2,9\cdot 10^{17}(m)$ .
(Afstanden van de ordegrootte $10^{18}m$ en meer konden niet onderscheiden
worden.)
Opmerking
Wanneer de kandidaat de sinus gebruikt in plaats van de tangens:
goedrekenen
| inzicht dat $tan(p)=\frac{r}{d}$ | 1 punt |
| opzoeken van de baanstraal van de aarde | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Figuur 2, bron: Wikimedia Commons
Omstreeks 1910 onderzocht Henrietta Leavitt (zie figuur 2) een bepaald
type sterren: de Cepheïden. De stralingsintensiteit van deze sterren
varieert met een constante periode T van enkele dagen tot enkele weken.
De Cepheïden zijn vernoemd naar de heldere ster Delta Cephei, waarvan
als eerste werd vastgesteld dat de stralingsintensiteit periodiek verandert.
Figuur 3 laat hedendaagse metingen zien van de waargenomen
stralingsintensiteit I van Delta Cephei.
Uit andere metingen blijkt dat de oppervlaktetemperatuur van Delta
Cephei tijdens één periode varieert tussen $5,5\cdot 10^{3}K$ en $6,8\cdot 10^{3}K$ . De
waargenomen variatie van de stralingsintensiteit komt overeen met de verwachte variatie op basis van de oppervlaktetemperaturen.
b. Toon dit aan.
voorbeeld van een antwoord:
Aflezen van de minimale en de maximale intensiteit in figuur 3 geeft $I_{min}=0,46\cdot 10^{-9}W m^{-2}$ en $I_{max}=1,10\cdot 10^{-9}W m^{-2}$ . De intensiteit varieert
met een factor $\frac{1,10}{0,46}=2,39$ . Voor de stralingsintensiteit van een ster geldt $I$ ∝ $P_{bron}$ ∝ $T^{4}$ , met $P_{bron}$ het
stralingsvermogen en T de oppervlaktetemperatuur van de ster. Ten gevolge van de variatie van de temperatuur zal de stralingsintensiteit dus variëren met een factor $(\frac{6,8\cdot 10^{3}}{5,5\cdot 10^{3}})^{4}=2,34$ . (De variatie in de waargenomen stralingsintensiteit komt overeen met de verwachte variatie op basis van de oppervlaktetemperaturen.)
| aflezen van $I_{min}$ en $I_{max}$ met een marge van $0,02\cdot 10^{-9}W m^{-2}$ | 1 punt |
| inzicht dat $I$ ∝ $P_{bron}$ en $P_{bron}$ ∝ $T^{4}$ | |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Sterren zijn niet gelijkmatig verdeeld over het heelal, maar gegroepeerd in
een groot aantal sterrenstelsels. De Kleine Magelhaense Wolk (KMW) is
een sterrenstelsel dat in de buurt van ons eigen melkwegstelsel ligt. Zie
figuur 4. Henrietta Leavitt ontdekte in de KMW ruim twintig Cepheïden.
Leavitt bepaalde van iedere Cepheïde in de KMW de maximale stralingsintensiteit $I_{max}$ en de periode T. Vervolgens zette zij de logaritme van $I_{max}$ uit tegen de logaritme van T. Zie figuur 5.
Tot Leavitts verrassing werd een lineair verband tussen log( $I_{max}$ ) en
log(T) zichtbaar. Het verband is te beschrijven met de formule:
$log(I_{max})=a\cdot log(T)+log(C)$ (1)
Hierin is:
- $I_{max}$ de gemeten maximale stralingsintensiteit in $W$ $m^{-2}$
- T de periode in dagen
- a een constante (zonder eenheid)
- C een constante in $W$ $m^{-2}$
c. Voer de volgende opdrachten uit met het diagram op de uitwerkbijlage:
i) Bepaal de grootte van a in formule (1). Noteer je antwoord in twee
significante cijfers.
voorbeeld van een bepaling:
- a komt overeen met de steilheid van het lineaire verband.
Deze steilheid is gelijk aan $a=\frac{-12,61--13,50}{1,50-0,40}=0,81$
| inzicht dat a bepaald kan worden uit de steilheid van de trendlijn | 1 punt |
| completeren van de bepaling van a en significantie | 1 punt |
ii) Toon aan dat voor de KMW geldt: $C=1,5\cdot 10^{-14}$ $W$ $m^{-2}$
log(C) komt overeen met het snijpunt van de trendlijn met de verticale
as. Dit snijpunt ligt bij -13,82 dus $log(C)=-13,82$ en $C=10^{-13,82}=1,5\cdot 10^{-14}(Wm^{-2})$ . / Invullen van $a=0,81$ en de
coördinaten van het punt $(0,40;-13,50)$ in formule (1) geeft $-13,50=0,81\cdot 0,40+log(C)\to log(C)=-13,82$ en $C=10^{-13,82}=1,5\cdot 10^{-14}(Wm^{-2})$ .
Opmerking
Ook als de kandidaat de deelvragen in omgekeerde volgorde heeft
beantwoord kunnen alle scorepunten behaald worden.
| aflezen van het snijpunt van de trendlijn met de verticale as / invullen van a en coördinaten van een punt op de trendlijn in formule (1) | 1 punt |
| completeren van de bepaling van C | 1 punt |
Leavitt vond ook voor Cepheïden in een ander sterrenstelsel een lineair
verband tussen log( $I_{max}$ ) en log(T). Daarbij was alleen de waarde van de
constante C anders. Zij concludeerde dat de constante a voor alle
Cepheïden in het heelal hetzelfde is, en dat C alleen afhangt van de
afstand van de Cepheïde tot de aarde. Tegenwoordig noemt men formule (1) de ‘wet van Leavitt’. Leavitt kon haar wet ontdekken doordat zij metingen deed aan meerdere Cepheïden in twee verschillende sterrenstelsels. Dit was niet gelukt als ze de gegevens van Cepheïden op willekeurige plekken in het heelal in het diagram had uitgezet.
d. Leg dit uit.
voorbeelden van een antwoord:
methode 1
Van Cepheïden op willekeurige plekken in het heelal is de afstand tot de aarde verschillend. Daarbij horen verschillende waardes van de
constante C, waardoor de gegevens van willekeurig gekozen Cepheïden niet op één rechte lijn terecht kunnen komen (en er geen conclusie over a en C getrokken kan worden).
| inzicht dat de afstanden van willekeurige Cepheïden tot de aarde verschillend zijn / dat bij willekeurige Cepheïden de waarde van C verschillend is | 1 punt |
| inzicht dat de gegevens daardoor niet op één rechte lijn liggen | 1 punt |
methode 2
Alle Cepheïden in een sterrenstelsel bevinden zich op ongeveer dezelfde
afstand van de aarde. Daarmee is de waarde van C voor deze Cepheïden bij benadering gelijk, waardoor de gegevens van deze Cepheïden op één rechte lijn terecht komen (en er een conclusie over a en C getrokken kan worden).
| inzicht dat de afstand van alle Cepheïden in een sterrenstelsel tot de aarde vrijwel gelijk is | 1 punt |
| inzicht dat de gegevens daardoor op één rechte lijn liggen | 1 punt |
Uit de wet van Leavitt volgt dat Cepheïden met dezelfde periode hetzelfde
stralingsvermogen $P_{bron}$ uitzenden. Bij gelijke periodes hangt de
waargenomen maximale intensiteit $I_{max}$ van een Cepheïde dus alleen af
van zijn afstand tot de aarde. In figuur 4 is te zien dat de ster Delta Cephei veel dichter bij de aarde ligt dan de KMW. Omstreeks 1930 was men in staat om de afstand tot Delta Cephei met de parallaxmethode te bepalen: deze is $8,4\cdot 10^{18}m$ . Met dit gegeven en de wet van Leavitt kon men vervolgens ook de afstand tot de veel verder weg gelegen KMW bepalen.
Op de uitwerkbijlage is figuur 3 afgebeeld. Ook zijn de data uit figuur 5
daar nogmaals weergegeven, nu op logaritmisch papier. Voor Delta Cephei geldt: $I_{max}=1,1\cdot 10^{-9}Wm^{-2}$ .
Uitwerkbijlage:
e. Voer de volgende opdrachten uit met de figuren op de uitwerkbijlage:
i) Bepaal de periode T van Delta Cephei. Noteer je antwoord in dagen en in twee significante cijfers.
voorbeeld van een antwoord:
- Uit aflezen in de (I,t)-grafiek volgt dat de periode van Delta Cephei
gelijk is aan T = 5,4 d.
| bepalen van T tussen 5,2 en 5,6 dagen | 1 punt |
ii) Bepaal hiermee de afstand tussen de aarde en de KMW. Noteer je
antwoord in twee significante cijfers.
Een Cepheïde in de KMW die dezelfde periode heeft als Delta Cephei
en op de trendlijn ligt, heeft een waargenomen maximale intensiteit $I_{max}=5,9\cdot 10^{-14}Wm^{-2}$ . Volgens de wet van Leavitt heeft de Cepheïde in de KMW hetzelfde stralingsvermogen $P_{bron}$ als Delta Cephei. Voor de waargenomen intensiteit geldt de kwadratenwet: $I=\frac{P_{bron}}{4\pi r^{2}}$ . Hieruit volgt dat $\frac{I_{Delta Cephei}}{I_{KMW}}=\frac{r^{2}_{KMW}}{r^{2}_{Delta Cephei}}\to r_{KMW}=\sqrt{\frac{I_{Delta Cephei}}{I_{KMW}}}\cdot r_{Delta Cephei}$ , dus $r_{KMW}=\sqrt{\frac{1,1\cdot 10^{-9}}{5,9\cdot 10^{-14}}}\cdot 8,4\cdot 10^{18}=1,1\cdot 10^{21}m$ .
| consequent bepalen van de intensiteit in de KMW | 1 punt |
| gebruik van de kwadratenwet | 1 punt |
| completeren van de bepaling van de afstand en beide significanties | 1 punt |
