Ongeveer 75 jaar geleden onderzocht John Stapp de effecten van grote versnellingen op het menselijk lichaam. In een van zijn experimenten zat hij op een stoel, met een veiligheidsriem over zijn heupen. De stoel hing aan een lange kabel. De stoel werd uit de evenwichtsstand getrokken en vervolgens vanuit stilstand losgelaten. Zie figuur 1. Bij het laagste punt werd een botsing nagebootst. Dit deed men door een andere kabel aan de achterkant van de stoel aan te spannen, waardoor de stoel plotseling vertraagde.
De snelheid van de stoel vlak voor de botsing (het aanspannen van de kabel) is $4,0 ms^{-1}$ .
a. Bereken op welke hoogte h boven het laagste punt de stoel is losgelaten. Verwaarloos daarbij de wrijvingskracht.
voorbeeld van een antwoord:
Zwaarte-energie wordt omgezet in kinetische energie. Dus er geldt: $\Delta E_{z}=(-)\Delta E_{k}$ . Invullen van de formules voor deze energieën geeft: $mgh=\frac{1}{2}mv^{2}$ , dus $h=\frac{\frac{1}2{v^{2}}}{g}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 4,0^{2}}{9,81}=0,82m$
| inzicht dat $\Delta E_{z}=(-)\Delta E_{k}$ | 1 punt |
| gebruik van $E_{z}=mgh $ en $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
Aya heeft op internet een film van het experiment van Stapp gevonden. Figuur 2 toont een beeldje uit de film.
De film werd gemaakt om de beweging met behulp van videometen te onderzoeken. Daarom is er op de achtergrond in figuur 2 een gestreepte balk met een totale lengte van 1 yard (= 0,91 m) geplaatst. Ook zijn er twee markeringen aangebracht:
- M, op de zitting van de stoel;
- S, op de schouder van Stapp.
Aya analyseert de beweging van de markeringen M en S. Daarvoor vergroot zij de filmbeeldjes en meet daarin met een liniaal. De vergroting van het beeldje uit figuur 2 staat op de uitwerkbijlage. Daar is ook het assenstelsel aangegeven dat Aya gekozen heeft. Uit haar metingen berekent zij de werkelijke horizontale positie x en werkelijke verticale positie y van de markeringen ten opzichte van de oorsprong.
b. Schat met de figuur op de uitwerkbijlage tot op hoeveel cm nauwkeurig Aya de werkelijke positie van een markering kan bepalen.
voorbeeld van een antwoord:
In de vergroting van het beeldje op de uitwerkbijlage kan de positie van een markering op 1 millimeter nauwkeurig bepaald worden. De balk is daar 45 mm lang, en dat komt overeen met 0,91 m. De nauwkeurigheid van de positiebepaling is dus $0,91\cdot \frac{1}{45}=0,02m=2cm$ .
| schatten van de meetnauwkeurigheid op het beeldje tussen 0,5 en 2 mm | 1 punt |
| completeren van de bepaling | 1 punt |
Aya zet de posities van de markeringen M en S uit in een (y,x)-diagram. Dit diagram is weergegeven in figuur 3. In het diagram zijn enkele meetpunten genummerd. Beeldje 0 komt overeen met het moment van de botsing. S en M bevinden zich dan recht boven elkaar bij x =0. De film is opgenomen met 50 beeldjes per seconde.
Aya concludeert uit figuur 3 dat S zich na de botsing gedurende 0,34 s rechts van x = 0 bevindt.
c. Leg met een berekening uit hoe zij deze tijdsduur heeft bepaald.
voorbeeld van een antwoord:
De tijd T tussen twee opgenomen beeldjes is $\frac{1}{50}=0,020s$ . Uit het (y,x)-diagram blijkt dat markering S zich gedurende 17 opeenvolgende beeldjes rechts van x = 0 bevindt. De bijbehorende tijdsduur is $\Delta t=17\cdot 0,020=0,34s$
| berekenen van het tijdsinterval tussen twee beeldjes | 1 punt |
| inzicht dat $\Delta t=aantal beeldjes\cdot T$ en completeren | 1 punt |
Figuur 4 toont beeldje 0 en beeldje 5. Hier is te zien dat de schouder na de botsing ten opzichte van de stoel beweegt. De beweging van markering S ten opzichte van markering M duurt volgens Aya 0,34 s.
d. Leg met behulp van figuur 3 uit of Aya gelijk heeft.
voorbeeld van een antwoord:
Uit de onderlinge afstand tussen de meetpunten in figuur 3 volgt dat de snelheid van markering S rond meetpunt 17 / rond het tijdstip $t=0.34s$ groter is dan de snelheid van markering M. Op $t=0.34s$ beweegt S dus nog steeds ten opzichte van M. (Aya heeft ongelijk.)
| inzicht dat de snelheden van M en S op $t=0,34s$ vergeleken moeten worden | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
Met behulp van software voor videometen bepaalt Aya voor ieder beeldje de snelheid vx van markering S in horizontale richting. In figuur 5 is vx uitgezet tegen de tijd t. Figuur 5 staat ook op de uitwerkbijlage.
Aya bekijkt het deel van de beweging waarin S vertraagt, tot aan het moment dat de bewegingsrichting omkeert.
e. Bepaal met behulp van het diagram op de uitwerkbijlage de gemiddelde horizontale vertraging van S tijdens dit deel van de beweging. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
voorbeeld van een antwoord: 
Vlak voor het begin van de vertraging is de snelheid $v_{x}=4,0ms^{-1}$ . Het
vertragen tot aan het omkeerpunt bij $v_{x}=0$ duurt van $t=0,040s$ tot $t=0,120s$ , dus $\Delta t=0,080s$ . Hieruit volgt $a_{x,gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{0-4,0}{0,080}=-50ms^{-2}$ .(De gemiddelde vertraging is $50ms^{-2}$ ).
Opmerking
Bij deze vraag hoeven de significanties van de uit figuur 5 bepaalde waarden van vx, t,
∆vx en ∆t niet beoordeeld te worden.
| gebruik van $a_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ | 1 punt |
| bepalen van de tijdsduur van het begin van de vertraging tot aan het omkeerpunt | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
Door de experimenten van Stapp kwam er aandacht voor de vraag hoe inzittenden van een personenauto beschermd kunnen worden tegen de grote vertraging bij een botsing. Men zag in dat de kinetische energie van de inzittenden zo geleidelijk mogelijk moet worden omgezet. De vertraging tijdens het afremmen is in dat geval constant. Voor de horizontale vertraging ax geldt dan:
$a_{x}=\frac{v_{b}^{2}}{2s}$ (1)
Hierin is:
- vb de horizontale snelheid vlak voor de botsing;
- s de lengte van de remweg in horizontale richting.
f. Leid formule (1) af.
voorbeelden van een antwoord:
methode 1
Tijdens het vertragen geldt: $W=\Delta E_{k}$ . Hierin is W de arbeid die door de (horizontale component van de) remkracht Frem wordt verricht. Er geldt $W=F_{rem}\cdot s$ en $F_{rem}=m\cdot a_{x}$ . Invullen in $W=\Delta E_{k}$ geeft: $m\cdot a_{x}\cdot s=\frac{1}{2}mv_{x,eind}^{2}-\frac{1}{2}mv_{x,begin}^{2}$ . Met $v_{x,eind}=0$ en $v_{x,begin}=v_{b}$ en door de massa weg te delen volgt hieruit $a_{x}\cdot s=(-)\frac{1}{2}v_{b}^{2}$ . De vertraging tijdens het afremmen is $a_{x}=\frac{v_{b}^{2}}{2s}$ .
| gebruik van $W=\Delta E_{k}$ met $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ | 1 punt |
| gebruik van $W=Fs$ | 1 punt |
| gebruik van $F=ma$ | 1 punt |
| completeren van de afleiding | 1 punt |
methode 2
De horizontale vertraging tijdens het afremmen is gelijk aan $a_{x=\frac{\Delta v_{x}}{\Delta t}}$ . Met $v_{x,eind}$ en $v_{x,begin}=v_{b}$ volgt hieruit $a_{x}=\frac{v_{b}}{\Delta t}$ . Uit $s=v_{gem}\Delta t $ en $v_{gem}=\frac{v_{begin}+v_{eind}}{2}$ volgt $\Delta t=\frac{2s}{v_{b}}$ . Voor de horizontale vertraging $a_{x}$ geldt dus: $a_{x}=\frac{v_{b}}{\Delta t}=\frac{v_{b}}{(\frac{2s}{v_{b}})}=\frac{v_{b}^{2}}{2s}$ .
| gebruik van $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ | 1 punt |
| inzicht dat $s=v_{gem}\cdot \Delta t$ | 1 punt |
| inzicht dat $v_{gem}=\frac{1}{2}v_{b}$ | 1 punt |
| completeren van de afleiding | 1 punt |
Uit de figuren 3 en 5 blijkt dat de schouder van Stapp na de botsing eerst
nog met constante snelheid bewoog, en vanaf ongeveer x = 20 cm begon
te vertragen. Tegenwoordig zijn driepuntsgordels in personenauto’s verplicht. Zie figuur 6. De driepuntsgordel wordt steeds strak tegen het lichaam getrokken. De elastische schouderband van een bepaald type driepuntsgordel kan over een horizontale afstand van 18 cm uitrekken. Aya beweert dat de horizontale vertraging ax van de schouder van Stapp kleiner geweest zou zijn als hij deze driepuntsgordel had gebruikt in
plaats van de veiligheidsriem.
g. Leg met behulp van formule (1) uit of Aya gelijk heeft.
voorbeeld van een antwoord:
Uit figuur 3 blijkt dat de vertraging van de schouder plaatsvindt over een
(horizontale) remafstand $s=0,33-0,20=0,13m$ . Deze remafstand is
kleiner dan de uitrekking van de schouderband van de driepuntsgordel.
Volgens formule (1) is $a_{x}$ kleiner bij een grotere remafstand s. De
vertraging zou bij gebruik van de driepuntsgordel dus kleiner geweest zijn
dan bij gebruik van de veiligheidsriem. (Aya heeft gelijk.)
Opmerking
Het eerste scorepunt kan ook behaald worden als de remafstand wordt
geschat met behulp van figuur 5.
| inzicht dat de remafstand van de schouder van Stapp kleiner is dan de uitrekking van de schouderband | 1 punt |
| gebruik van formule (1) | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
