In Het Parool van 4 april 2024 staat dat de Amerikaanse ruimtevaartorganisatie NASA heeft besloten dat de maan een eigen tijdzone krijgt “omdat de tijd daar sneller wegtikt dan op aarde”. Dat is een gevolg van de relativiteitstheorie. Hoe dat zit, gaan we bekijken.
Tijdzones
Maar eerst het begrip ’tijdzone’ op aarde. Als het in Nederland middernacht is (wintertijd), is het in Japan al acht uur ‘s morgens. We zeggen: ‘Japan ligt in een andere tijdzone dan Nederland’. De klok loopt in Japan acht uur voor op die in Nederland. Als je een kaart bekijkt van de tijdzones op aarde, dan zie je dat die een grillig verloop hebben.
a) Hoeveel tijdzones zouden er moeten zijn als je wilt dat in elke zone de zon tussen 11:30 uur en 12:30 het hoogst aan de hemel staat?
De aarde draait in 24 uur eenmaal om zijn as. Hij draait dus in één uur 15 graden. Als de zon bij jou om twaalf uur het hoogst aan de hemel staat, is dat op een plaats 15 graden naar het westen pas één uur later het geval. Die plaats ligt in de volgende tijdzone. Er zijn 24 tijdzones nodig om ervoor te zorgen dat binnen elke zone de zon het hoogste punt bereikt tussen half twaalf en half een ’s middags. Dan staat de zon in het midden van elke zone het hoogst om 12:00 uur.
b) Wat zou de vorm van die zones zijn?
De zones zijn stroken tussen twee meridianen die 360/24 = 15 graden verschillen, net als de partjes van een mandarijn.
c) Wat is de reden dat de feitelijke zones boven land overal een grillige vorm hebben?
De meeste landen willen dat binnen hun land overal de klokken dezelfde tijd aanwijzen. Daarom volgen de meeste zones de landsgrenzen. Zie bijvoorbeeld China.
d) Waarom hebben zeer grote landen meerdere tijdzones?
In erg grote landen, zoals de Verenigde Staten en Rusland, zou dat ertoe leiden dat als de zon in het oosten van het land om twaalf uur hoog aan de hemel staat, hij in westen pas vele uren later de hoogste stand bereikt. In die landen is gekozen voor twee of meer tijdzones.
Dat verklaart nog niet waarom de maan een eigen tijdzone zou moeten hebben. Het Parool schrijft: “De laatste keer dat NASA astronauten naar de maan stuurde, droegen zij nog horloges die waren afgestemd op aardse tijd.” Dat was de Apollo 17 missie in 1972. De lancering was in Cape Canaveral.
e) Op welke tijdzone zullen de horloges ingesteld zijn geweest?
Op de tijdzone waarin Cape Canaveral ligt. Dat is Eastern Standard Time.
f) Welke tijdzone, zou je kunnen zeggen, werd toen voor de landingsplaats van Apollo 17 op de maan aangehouden?
Er was geen reden voor NASA om de astronauten een andere tijd te geven dan bij hun lancering van Cape Canaveral. Dus de maan lag ook in de zone van Eastern Time. Dan konden geen misverstanden ontstaan over hoe laat het was.
Tijdrek
Er moet dus een reden zijn dat NASA nu aan de maan een eigen ‘tijdzone’ toekent, met een andere betekenis dan de tijdzones op aarde. Het Parool citeert Kevin Coggins van NASA: “Een atoomklok op de maan tikt met een ander tempo dan die op aarde”. Deze uitspraak klopt. Het is een minder bekend gevolg van de algemene relativiteitstheorie (Einstein 1916): de tijd verloopt op de maan sneller dan op aarde.
Maar voor we daarop ingaan, kijken we eerst naar een verschijnsel dat er op het eerste gezicht op lijkt, maar toch heel anders is. Dat betreft tijdrek (ook wel ‘tijddilatatie’), een verschijnsel dat Albert Einstein ruim tien jaar eerder had beschreven in zijn speciale relativiteitstheorie (1905).
Het verschijnsel van tijdrek kunnen we beschrijven aan de hand van een denkbeeldig voorbeeld. Stel er vliegt een astronaut in een ruimtevaartuig voorbij. Die astronaut meet hoeveel tijd verloopt tussen twee gebeurtenissen (bijvoorbeeld twee tikken van een atoomklok) en vindt dat dit Δt0 is. De waarnemer op aarde ziet het ruimtevaartuig met een snelheid v aan de hemel voorbijgaan. Met een verrekijker kan hij zien wat er in het ruimtevaartuig gebeurt. Hij meet op zijn aardse klok de tijd tussen die twee gebeurtenissen en leest af: Δt. Die tijd blijkt langer te zijn dan de door de astronaut gemeten tijd! Dit verschijnsel heet tijdrek, of ook wel ‘tijddilatatie’. Einstein leidde het verband af tussen Δt en Δt0. De formule voor dit verband is:
$\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Hierin is:
- Δt0 de tijd gemeten in het eigen systeem van de astronaut
- Δt de tijd gemeten ‘op aarde’
- v de snelheid van het ruimtevaartuig ten opzichte van de aarde
- c de snelheid van het licht.
De gemiddelde snelheid van de maan in zijn baan om de aarde is 1,022 km/s. Dit is verwaarloosbaar ten opzichte van de lichtsnelheid. Dan vind je dat Δt niet merkbaar verschilt van Δt0. Er is dus geen meetbare tijdrek: klokken op de maan tikken even snel als op aarde.
Maar in het geval van een raket die met zeer hoge snelheid (in de buurt van de lichtsnelheid) passeert zou dat anders zijn. Een rekenvoorbeeld maakt dat duidelijk. Stel een raket beweegt met een snelheid van 250.000 km/s ten opzichte van de aarde. Neem aan dat de tijd tussen twee gebeurtenissen in de raket 100 s bedraagt. Een waarnemer op aarde ziet de twee gebeurtenissen en meet de tussentijd. Dan is de tijd wel merkbaar uitgerekt.
g) Reken welke tijdsduur de waarnemer op de eigen klok afleest.
v = 250.000 km/s en c = 300.000 km/s, dan vind je:
$\frac{v}{c}=0,833\rightarrow\frac{v^2}{c^2}=0,694\rightarrow 1-\frac{v^2}{c^2}=0,306$
En dus:
$\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{0,306}}=\frac{100}{0,553}=181\mathrm{s}$
Veel langer dus.
Gravitationele tijddilatatie
Anders ligt het met het verschijnsel waar Coggins van Nasa over spreekt. Dat betreft wat Einstein in de algemene relativiteitstheorie aantoonde: hoe sterker de zwaartekracht is, hoe langzamer de tijd voortschrijdt! De tijd rekt uit als gevolg van de sterkere zwaartekracht. Einstein gebruikt voor dit verschijnsel de term gravitationele tijddilatatie.
Ook hier merken we in het dagelijks leven niets van. Met één uitzondering: het speelt wel een rol bij gps-navigatie. De atoomklokken in gps-satellieten lopen niet gelijk met klokken op aarde, omdat het zwaartekrachtsveld zwakker is op de hoogte waarop de gps-satellieten hun banen beschrijven. Op die hoogte gaat de tijd sneller. Om te voorkomen dat gps-navigatie te onnauwkeurig is, moet daarvoor gecorrigeerd worden. (De gewone tijdrek van de speciale relativiteitstheorie speelt hier juist geen rol, omdat de snelheid van gps-satellieten slechts 3,9 km/s bedraagt.)
De gravitationele tijddilatatie kan berekend worden met de formule:
$\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}$
Hierin is:
- G universele gravitatieconstante
- M massa van het hemellichaam (bijvoorbeeld de aarde of de maan)
- r afstand tot het zwaartepunt van het hemellichaam
- Δt0 tijdsduur op afstand r
- Δt tijdsduur op plek waar zwaartekracht verwaarloosbaar is (oneindig ver van het hemellichaam).
Wiskundig kun je laten zien dat de formule benaderd kan worden met:
$\Delta t\approx\Delta t_0\cdot\left(1+\frac{GM}{rc^2}\right)$
h) Controleer hiermee dat gedurende een jaar het tijdsverschil tussen een klok op aarde en een klok die zich oneindig ver weg bevindt gelijk is aan 0,022 s.
(Tip: Als je rekenmachine niet precies genoeg is om het kleine effect te berekenen, kun je gebruik maken van internetcalculator https://www.calculator.net/)
G = 6,6726 . 10-11 Nm2kg-2
c = 2,99792458 . 108 ms-1
In dit geval geldt
Δt0 = één jaar aan het aardoppervlak = 3,15 . 107 s (Binas tab 5)
Δt = te berekenen tijdsduur oneindig ver weg
M = MA = 5,976 . 1024 kg
r = RA = 6,378 . 106 m (Binas tab 31).
Invullen:
$\Delta t\approx\Delta t_0\cdot\left(1+\frac{GM}{rc^2}\right)$
Dus het tijdverschil:
$\Delta t-\Delta t_0=\Delta t_0\cdot\frac{GM}{rc^2}=3,15\cdot 10^7\cdot\frac{6,6726\cdot 10^{-11}\cdot 5,976\cdot 10^{24}}{6,368\cdot 10^6\cdot\left(2,99792458\cdot 10^8\right)^2}=0,0219~\mathrm{s}$
Gps op aarde
Gps-satellieten cirkelen op een hoogte van 20.180 km boven het aardoppervlak. Op dezelfde manier als bij h. kun je het tijdverschil berekenen tussen een klok in een gps-satelliet en een klok in het oneindige. Daarmee is te berekenen dat een tijdsduur van één jaar op aarde in de gps-satelliet 0,016 s afwijkt.
i) Leg uit of de klok in de gps-satelliet in een jaar 0,016 s sneller of langzamer loopt dan een aardse klok.
Het zwaartekrachtsveld ter hoogte van de gps-satelliet is zwakker dan aan het aardoppervlak. Daardoor verloopt de tijd daar sneller. De klok gaat voorlopen ten opzichte van de aarde.
Hoe klein dit verschil ook is, het is van wezensbelang bij gps-navigatie. De positie van (bijvoorbeeld) een auto op aarde wordt bepaald door een elektromagnetisch signaal dat naar minstens drie gps-satellieten gaat en vandaar teruggezonden. Omdat de afstand tot de satellieten verschilt, arriveren de teruggezonden signalen niet tegelijk. Omdat er maar één plek op aarde is bij elke combinatie van tijdverschillen, kan zo wordt de positie bepaald worden.
Als geen rekening zou worden gehouden met de gravitationele tijddilatatie is de positiebepaling niet nauwkeurig genoeg. In navigatiesystemen wordt hiervoor gecompenseerd.
j) Bereken hoe lang een signaal onderweg is van de auto naar een satelliet en weer terug.
$s=vt\rightarrow t=\frac{s}{v}=\frac{2\cdot 20180\cdot 10^3}{3,0\cdot 10^8}=0,135~\mathrm{s}$
k) Bereken de onnauwkeurigheid van de positie als in de gemeten tijd een onnauwkeurigheid zit van 0,016 s per jaar.
De gravitationele tijddilatatie is 0,016 s per jaar, dat is 0,016 / (365 · 24 · 3600) = 5,1 . 10-10 s per seconde. Het elektromagnetische signaal gaat met de lichtsnelheid. In 5,1.10-10 s legt het een afstand af van s = vt = 5,1 . 10-10 · 3,0 . 108 = 15 . 10-2 m = 15 cm. De gravitationele tijddilatatie leidt tot een onnauwkeurigheid van 15 cm per seconde. Dat is onacceptabel in het autoverkeer.
De maan
Zo, en nu naar de maan. Het Parool schrijft “Omdat er minder zwaartekracht op de maan is, gaat de tijd daar sneller dan op aarde. Om precies te zijn: met 58,7 microseconden per dag.” NASA wil in 2026 opnieuw mensen op de maan hebben. NASA heeft een aardig filmpje uit april 2024 waarin wordt uitgelegd waarom de maan een eigen tijdzone moet hebben, zie hieronder:
De eigen tijdzone van de maan heet Coordinated Lunar Time (LTC). Anders dan op aarde is er maar één tijdzone voor de hele maan.
l) Bedenk waarom het voor ruimtevaarders op de maan van belang is dat ze een eigen tijd hebben.
Ruimtevaarders op de maan zullen met elkaar moeten communiceren en elektronische precisieapparatuur bedienen. En ze moeten ook met het vluchtcentrum op aarde contact onderhouden. Net zoals op aarde bij gps-navigatie gecorrigeerd moet worden voor de gravitationele tijddilatatie (tussen gps-satelliet en de aarde), zo moet dat ook op de maan (tussen de maan en de aarde).
m) Bedenk waarom één tijdzone op de maan voldoende is.
De aarde is overal bevolkt. Er zijn verschillende tijdzones omdat men overal wil dat midden op de dag het in de eigen zone rond twaalf uur is, en dat is in elke zone op een ander tijdstip. Op de maan gaat het alleen om de communicatie onderling en met hun apparaten. Eén tijd die op de hele maan geldt is daarvoor genoeg.
