Natuurkunde.nl - Lycopeen (Vwo examen 2025-1, opg4)

Lycopeen $(C_{40} H_{56})$ is een rode kleurstof die bijvoorbeeld in tomaten voorkomt. Een lycopeenmolecuul bestaat onder meer uit een lange keten van 22 koolstofatomen. Zie figuur 1.

Het absorptiespectrum van lycopeen staat afgebeeld in figuur 2.

De dubbele bindingen in de lange keten tussen de punten P en Q in figuur 1 leveren de zogenaamde $π$ -elektronen. Deze elektronen kunnen vrij bewegen tussen P en Q. We beschouwen het lycopeenmolecuul daarom als een één-dimensionale energieput, gevuld met 22 $π$ -elektronen. We nemen aan dat de lengte van de put gelijk is aan de afstand L, de afstand tussen P en Q langs de keten. Dus L is 21 keer zo lang als de gemiddelde afstand van $1, 4 \cdot 10^{- 10} m$ tussen twee koolstofatomen in de keten. Op basis hiervan kan de grootste golflengte berekend worden die door het molecuul geabsorbeerd kan worden.

a. Toon met een berekening aan dat deze maximale golflengte groter is dan de waarde die volgt uit figuur 2.

Voor de lengte L geldt:

L = 21 \cdot 1, 4 \cdot 10^{- 10} = 2, 94 \cdot 10^{- 9} m

.
Er zijn in totaal 22 vrije elektronen. Dat betekent dat in de grondtoestand de eerste elf niveaus bezet zijn.
Voor de energie van het foton met de maximale golflengte geldt dan:

E_{f} = Δ E_{n} = E_{12} - E_{11} = 12^{2} \frac{h^{2}}{8 \cdot m \cdot L^{2}} - 11^{2} \frac{h^{2}}{8 \cdot m \cdot L^{2}} = 23 \frac{h^{2}}{8 \cdot m \cdot L^{2}}

.
Invullen geeft:

E_{f} = 23 \frac{{(6, 626 \cdot 10^{- 34})}^{2}}{8 \cdot 9, 11 \cdot 10^{- 31} \cdot {(2, 94 \cdot 10^{- 9})}^{2}} = 1, 6 \cdot 10^{- 19} J

.
Voor de fotonenergie geldt:

E_{f} = \frac{h c}{λ}

. Invullen en uitwerken levert dan:

λ = \frac{h c}{E_{f}} = \frac{6, 626 \cdot 10^{- 34} \cdot 3, 00 \cdot 10^{8}}{1, 603 \cdot 10^{- 19}} = 1, 24 \cdot 10^{- 6} m = 1, 24 \cdot 10^{3} n m

.
De horizontale as van figuur 2 loopt tot 560 nm. (De berekende golflengte is groter dan dit maximum, dus de maximale golflengte is groter dan de waarde die volgt uit figuur 2.)

inzicht dat in de grondtoestand de energieniveaus 1 t/m 11 bezet zijn	1 punt
gebruik van $E_{f} = \| E_{m} - E_{n} \|$	1 punt
gebruik van $E_{n} = n^{2} \frac{h^{2}}{8 \cdot m \cdot L^{2}}$	1 punt
gebruik van $E_{f} = \frac{h c}{λ}$	1 punt
completeren van de berekening en vergelijken met figuur 2	1 punt

Opmerking
Als de kandidaat de berekende golflengte vergelijkt met de golflengte die hoort bij de absorptiepiek bij 505 nm, dit niet aanrekenen.

Een mogelijke verklaring voor het verschil tussen de berekende en de gemeten golflengte is dat de effectieve putlengte, waarin de elektronen kunnen bewegen, niet gelijk is aan L.

b. Leg uit of de effectieve putlengte volgens deze verklaring groter of kleiner is dan L.

De gemeten golflengte is kleiner dan de berekende. De energie van het foton is dan dus groter. De lengte van de energieput moet dan kleiner zijn. (En dus is de effectieve putlengte kleiner dan de afstand L)

inzicht dat de energie van het foton groter moet zijn / inzicht dat de energieovergang in de energieput groter moet zijn	1 punt
consequente conclusie over de effectieve putlengte	1 punt

Lycopeen (Vwo examen 2025-1, opg4)

Onderwerp: Quantumwereld

a. Toon met een berekening aan dat deze maximale golflengte groter is dan de waarde die volgt uit figuur 2.

b. Leg uit of de effectieve putlengte volgens deze verklaring groter of kleiner is dan L.

Cookie-instellingen