Onderzoekers hebben ontdekt dat de larven van een bepaalde kever zeer hoog kunnen springen in verhouding tot hun lengte. John en Imani onderzoeken dit. Van een sprong is een stroboscopische foto gemaakt. Zie figuur 1. De larve is zes keer gefotografeerd tijdens de sprong. Het zwaartepunt Z van de larve is in ieder beeld aangegeven.
Deze figuur 1 is gemaakt met een camera die 132 foto’s per seconde maakt.
a. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de gemiddelde snelheid van de larve tussen het moment van loskomen van de grond (1) en het bereiken van het hoogste punt (6). Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
Er zijn 5 beeldovergangen. Hieruit volgt voor de tijd: $t=5\cdot\frac{1}{132}=0,0379s$ Uit de schaal in figuur 1 volgt voor de afgelegde afstand: $\Delta x=\frac{5,4}{3,2}\cdot 5,0mm=8,4mm$ dus: $v_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{8,4\cdot 10^{-3}}{3,79\cdot 10^{-2}}=0,22ms^{-1}$
| inzicht dat $t=\frac{n_{beeldovergangen}}{132}$ met $n_{beeldovergangen}=5$ | 1 punt |
| bepalen van $\Delta x$ (met een marge van 0,3 mm) | 1 punt |
| gebruik van $v_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
Imani maakt een (v,t)-diagram van de snelheid tijdens het begin van de sprong. Het resultaat staat in figuur 2.
Imani wil met behulp van het diagram het vermogen van de larve gaan
bepalen. Hiervoor heeft ze de gemiddelde resulterende kracht $F_{res\,gem}$ over de hele afzet nodig. Ze bepaalt daarvoor de afstand waarover de larve zich heeft afgezet.
b. Leg met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage uit hoe Imani deze afstand heeft bepaald. Laat in de figuur zien hoe Imani aan haar antwoord komt. Je hoeft deze bepaling niet uit te voeren.
Door de oppervlakte onder de grafiek te bepalen tot het moment dat de snelheid weer gaat afnemen.
| inzicht dat de oppervlakte onder de grafiek bepaald moet worden | 1 punt |
| in de grafiek markeren van de oppervlakte tussen de oorsprong en het bereiken van het maximum van de grafiek |
1 punt |
Imani heeft de afzetafstand bepaald op 0,72 mm. De massa van deze
soort larve is $1,3\cdot 10^{-6}kg$ . Uit een energiebeschouwing met de maximale snelheid $v_{e}$ volgt dat de gemiddelde resulterende kracht $F_{res\,gem}$ gelijk is aan $6,1\cdot 10^{-5}N$ .
c. Toon dit aan met figuur 2 en de relatie tussen arbeid en kinetische energie.
Er geldt: $W_{tot}=\Delta E_{k}\to F_{resgem}=\frac{0,5m v_{e}^{2}-0,5mv_{b}^{2}}{s}=\frac{0,5\cdot 1,3\cdot 10^{-6}\cdot 0,26^{2}-0}{0,72\cdot 10^{-3}}=6,1\cdot 10^{-5}N$
| gebruik van $W_{tot}=\Delta E_{k}$ met $W=F\cdot s$ en $E_{k}=0,5m\cdot v^{2}$ | 1 punt |
| bepalen van $v_{e}$ met een marge van $0,01 ms^{-1}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling | 1 punt |
John verwaarloost de zwaartekracht ten opzichte van de afzetkracht. Dus hij gebruikt $F_{res}=-F_{afzet}$ John constateert dat de resulterende kracht niet constant is tijdens de afzet. Hij vraagt zich af of hij de springende larve kan modelleren als een veer. Als de larve zich gedraagt als een gespannen veer die zich ontspant tijdens de afzet, zou er moeten gelden dat de maximale resulterende kracht $F_{res\,max}$ twee keer zo groot is als de gemiddelde resulterende kracht $F_{res\,gem}$ Hij vindt het model acceptabel als blijkt dat de verhouding van die krachten tussen 1,5 en 2,5 uitkomt.
d.Voer de volgende opdrachten uit:
i) Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage(figuur 2) maximale versnelling tijdens de afzet. Laat in de figuur zien hoe je aan je antwoord komt. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
Er geldt: $a=\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{raaklijn}=\frac{0,30}{3,4\cdot 10^{-3}}=88ms^{-2}$
| tekenen van een raaklijn in het steilste deel van de grafiek | 1 punt |
| gebruik van $a=\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{raaklijn}$ | 1 punt |
ii) Bereken $F_{res\,max}$ tijdens de afzet.
Hieruit volgt: $F_{resmax}=m\cdot a=1,3\cdot 10^{-6}\cdot 88=1,1\cdot 10^{-4}N$
| gebruik van $F_{res}=m\cdot a$ | 1 punt |
iii) Toon aan dat de larve zich binnen de marge van John volgens het
model van een veer gedraagt.
Volgens het model geldt: $\frac{F_{resmax}}{F_{resgem}}=2$ Voor de larve geldt: $\frac{F_{resmax}}{F_{resgem}}=\frac{1,1\cdot 10^{-4}}{6,1\cdot 10^{-5}}=1,8$ (De larve gedraagt zich binnen de marge van John volgens het model van een veer.)
| inzicht dat $\frac{F_{resmax}}{F_{resgem}}$ vergeleken moet worden met $\frac{F_{resmax}}{F_{resgem}}=2$ voor een veer | 1 punt |
| completeren van bepaling en berekeningen en significantie | 1 punt |
Tot slot willen John en Imani het specifieke vermogen van een mens en van een larve tijdens een verticale sprong vergelijken. Het specifieke vermogen $P_{spec}$ is het vermogen per kilogram lichaamsmassa. Voor een gemiddelde mens geldt: $P_{spec}=3,3W $ per kilogram lichaamsmassa. De massa van de larve is $1,3\cdot 10^{-6}$ kg. Tijdens de afzet tot het loskomen van de grond is de gemiddelde snelheid van de larve $0,14ms^{-1}$ en is de gemiddelde resulterende kracht $F_{resgem}=6,1\cdot 10^{-5}N$ .
e. Bereken hoeveel keer zo groot $P_{spec}$ van de larve is tijdens de afzet ten opzichte van $P_{spec}$ van een mens.
De larve levert een (gemiddeld) vermogen van $P=F v=6,1\cdot 10^{-5}\cdot 0,14=8,5\cdot 10^{-6}W$ . Het specifieke vermogen van de larve is dan $\frac{8,5\cdot 10^{-6}}{1,3\cdot 10^{-6}}=6,6\,Wkg^{-1}$ . Dit is $\frac{6,6}{3,3}=2,0 $ keer zo groot als dat van een mens.
| gebruik van $P=F\cdot v$ | 1 punt |
| inzicht dat $P_{speclarve}=\frac{P_{larve}}{m_{larve}}$ | 1 punt |
| inzicht dat $n=\frac{P_{speclarve}}{P_{specmens}}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
