Aardachtige planeet ontdekt met JWST

Onderwerp: Astrofysica, Elektromagnetisch spectrum, Trilling en golf

Een opgave van de redactie van Stichting Exaktueel over de James Webb ruimtetelescoop. Op basis van artikelen in de media maakt Stichting Exaktueel opgaven die aansluiten bij het natuurkunde-onderwijs in het voortgezet onderwijs.

In de Volkskrant van 12 januari 2023 en in de NRC van 20 oktober 2022 staat dat de James Webb-ruimtetelescoop (JWST) nieuwe inzichten heeft opgeleverd over het ontstaan van het heelal, dat JWST dwars door gaswolken heen kan kijken en dat er een nieuwe aardachtige exoplaneet is gevonden. 

Jacob Lustig-Yaeger en Erin May, twee wetenschappers van de Johns Hopkins-universiteit van Baltimore hebben met behulp van JWST de eerste exoplaneet (een planeet die om een andere ster dan de zon draait) ontdekt die om een ster draait en ongeveer even groot is als de aarde. Het gaat om een aarde-achtige planeet in een baan rond om dwergster LHS 475. We gaan nu eerst de ster bekijken, en komen daarna terug op de ontdekking van de exoplaneet.

Ster LHS 475

De ster LHS 475 bevindt zich op 41 lichtjaar afstand van de aarde.

a) Reken deze afstand om naar meters.

In BiNaS tabel 5 vind je wat een lichtjaar is. Voor de afstand van de ster vind je dan:

$s=41\cdot 9,461\cdot 10^{15}=3,7\cdot 10^{17}~\mathrm{m}$

Een aantal gegevens die van de ster bekend zijn staan in de tabel in figuur 1.

Figuur 1.
Figuur 1.

Het Hertzsprung-Russeldiagram wordt gebruikt als basis voor de classificatie van sterren. Zie figuur 2. In figuur 2 zijn drie gebieden aangeduid met de letters A, B en C.

Figuur 2. Hertzsprung-Russeldiagram
Figuur 2. Hertzsprung-Russeldiagram
b) Benoem met behulp van jouw informatieboek de soorten sterren van A,B en C.

A = sterren uit de hoofdreeks, B = witte dwergen, C = rode reuzen. (Binas 33)

c) Geef in een print van figuur 2 aan waar in het Hertzsprung-Russell-diagram LHS475 zich bevindt.

Voor de horizontale as: $\log T_{\mathrm{eff}}=\log(3312)=3,52$

Voor de verticale as: $\frac{L_{\mathrm{LHS475}}}{L_{\odot}}=\log 0,0009=-2,05$

Zie onderstaande figur:

Exoplaneet LHS 475 b

De exoplaneet LHS 475 b is ontdekt uit nauwkeurige metingen aan de helderheid van het licht van de ster. Vanuit JWST gezien beweegt de planeet elke omloop voor de ster langs. Als de planeet voor de ster beweegt neemt de helderheid een klein beetje af. Zie figuur 3. 

Figuur 3. De intensiteit van het licht afkomstig van LHS 475, bron Nasa.
Figuur 3. De intensiteit van het licht afkomstig van LHS 475, bron Nasa.

Het afnemen van de helderheid gebeurt elke twee dagen.

d) Bereken de baanstraal van LHS 475 b.

De massa van de ster en de omlooptijd van de planeet zijn bekend. Met de derde wet van Kepler kan dan de baanstraal berekend worden:

$\frac{r^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}\rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{T^2GM}{4\pi^2}}$

Invullen geeft:

$r=\sqrt[3]{\frac{\left(2\cdot 24\cdot 3600\right)^2\cdot 6,67384\cdot 10^{-11}\cdot 0,274\cdot 1,9884\cdot 10^{30}}{4\pi^2}}=3\cdot 10^9~\mathrm{m}$

Met de JWST kan onderzoek gedaan worden naar de samenstelling van de atmosfeer van de planeet. Dit wordt gedaan met behulp van het infrarood-spectrum. Zo kan worden bepaald of er mogelijk CO2 in de atmosfeer zit. In figuur 4 zie je een IR-spectrum van CO2.

Figuur 4: IR-spectrum van koolstofdioxide
Figuur 4: IR-spectrum van koolstofdioxide

Op de horizontale as van figuur 4 staat het golfgetal $\tilde{\nu}$ in cm-1.  Voor het golfgetal geldt:

$\tilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}$

Hierin is $\lambda$ de golflengte van het licht. Op de verticale as van figuur 4 staat de transmissie. Als deze 1,0 is wordt 100% van het licht met dat golfgetal doorgelaten, de absorptie is dan 0%. Bij 0,3 is de transmissie 30% en de absorptie 70%. 

e) Voer de volgende opdrachten uit:
- Bepaal de golflengte van het licht waarbij de maximale absorptie plaatsvindt.
- Controleer of dit inderdaad infrarood is.

In figuur 4 kan je aflezen dat de maximale absorptie plaatsvindt bij een golfgetal van 2300 cm-1. Dit komt overeen met een golflengte van:

$\lambda=\frac{1}{\tilde{\nu}}=\frac{1}{2300}=4,3\cdot 10^{-4}~\mathrm{cm}=4,3\cdot 10^{-6}~\mathrm{m}$

In BiNaS tabel 19b vind je dat dit inderdaad infrarood is.

In figuur 5 staat een CO2-molecuul schematisch weergegeven.

Figuur 5 
Figuur 5 

In het spectrum van figuur 4 zie je vier absorptiepieken. Deze komen als volgt tot stand. Moleculen trillen, bewegen en draaien. Dit worden ook wel vibrationele, translationele en rotationele bewegingen genoemd. Het trillen betreft buig- en strekvibratie. Bij strekvibraties worden de bindingen wisselend langer en korter. Bij buigvibratie neemt de bindingshoek in de binding toe en af. In de eerste anderhalve minuut van onderstaande YouTube video worden deze trillingen uitgelegd. 

De vibrationele trillingen zijn enigszins te vergelijken met een trilling bij een massa-veersysteem. Voor een massa-veersysteem geldt:

  $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}$

f) Laat zien dat de eenheid rechts van het ‘=’-teken gelijk is aan Hz.

$[f]=\sqrt{\frac{\mathrm{N/m}}{kg}}=\sqrt{\frac{\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot\frac{1}{\mathrm{m}}}{\mathrm{kg}}}=\sqrt{\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^2}}=\sqrt{\frac{1}{\mathrm{s}^2}}=\frac{1}{\mathrm{s}}=\mathrm{Hz}$

In het CO2-molecuul bewegen beide zuurstofatomen ten opzichte van het koolstofatoom. In de rest van deze opdracht gaan we aan de slag met een versimpeld systeem, bestaande uit het koolstofatoom met slechts één zuurstofatoom. De natuurkundige concepten die besproken worden in de volgende opdrachten veranderen hierdoor niet significant, terwijl de wiskunde enorm veel simpeler wordt. De beide atomen (koolstof en zuurstof) trillen ten opzichte van elkaar. Door de massa m  te vervangen voor de gereduceerde massa $\mu$ geldt de formule ook voor dit molecuul, bestaande uit een koolstof- en een zuurstofatoom. De gereduceerde massa wordt gegeven door:

$\mu=\frac{m_1\cdot m_2}{m_1+m_2}$

Hierin zijn m1 en m2 de massa van de atomen in het molecuul die ten opzichte van elkaar trillen.

Dit leidt tot de volgende vergelijking voor het golfgetal.

$\tilde{\nu}=\frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{C}{\mu}}$

g) Toon deze formule aan met behulp van formules uit het informatieboek en de eerder gegeven formules.

Het golfgetal is gedefinieerd als:

$\tilde{\nu}=\frac{1}{\lambda}$

Voor de golflengte van licht geldt: $\lambda=\frac{c}{f}$ . Als je deze twee formules combineert, vind je:

$f=\frac{c}{\lambda}=\tilde{\nu}c$

Voor de frequentie van een massaveersysteem geldt:

$f=\frac{1}{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{C}{m}}$

Vul voor de massa de gereduceerde massa $\mu$ in en combineer met het eerder gevonden verband tussen de frequentie en het golfgetal:

$\tilde{\nu}c=\frac{1}{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{C}{\mu}}$  

Of:

$\tilde{\nu}=\frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{C}{\mu}}$

h) Bepaal met behulp van figuur 4 voor de absorptiepiek met het grootste golfgetal de veerconstante die uit dit model volgt.

Het golfgetal is:

$\tilde{\nu}=3720~\mathrm{c}^{-1}=372000~\mathrm{m}^{-1}$

Voor de gereduceerde massa vind je:

$\mu=\frac{m_1\cdot m_2}{m_1+m_2}=\frac{12,01\cdot 1,6605\cdot 10^{-27}\cdot 16,00\cdot 1,6605\cdot 10^{-27}}{12,01\cdot 1,6605\cdot 10^{-27}+16,00\cdot 1,6605\cdot 10^{-27}}=1,139\cdot 10^{-26}~\mathrm{kg}$

De veerconstante is dan:

$C=\frac{4\pi^2 c^2\mu}{\tilde{\nu}^2}=\frac{4\pi^2\cdot\left(2,99792458\cdot 10^8\right)^2\cdot 1,139\cdot 10^{-26}}{372000^2}=2,920\cdot 10^{-19}~~\mathrm{Nm}^{-1}$

Een trilling wordt versterkt als de golflengte van de elektromagnetische straling het juiste golfgetal heeft. Er treedt dan resonantie op. Als dit zo is worden de fotonen met de betreffende golflengte geabsorbeerd door het molecuul. Het molecuul gaat vervolgens heftiger trillen, dat wil zeggen dat de amplitude toeneemt. Dit geldt voor het versimpelde model met één zuurstofatoom, maar dit werkt op dezelfde manier bij het CO2 molecuul.

i) Leg uit dat er in dat geval een (negatieve) piek in het spectrum van CO2 zit.

Fotonen met de juiste golflengte (en dus het juiste golfgetal) kunnen geabsorbeerd worden door CO2 moleculen. De energie van het foton leidt dan tot een grotere amplitude van de trilling van het CO2 molecuul. Het foton is dan geabsorbeerd en kan dus niet meer waargenomen worden. Bij deze golflengte (en golfgetal) zal er dus een dip (ofwel negatieve piek) in het spectrum van figuur 4 waargenomen worden.

j) Leg uit hoe bepaald kan worden dat er CO2 in de atmosfeer zit van de planeet.

Er wordt gekeken naar het licht uitgezonden door de ster, dat vlak langs de planeet is gegaan. Vervolgens wordt er gekeken of er een dipje in de intensiteit van dit licht zit bij golflengtes (of golfgetallen) die overeenkomen met de absorptiepieken in het spectrum van CO2. Als dat het geval is, weten de onderzoekers dat er CO2 aanwezig is in de atmosfeer van de planeet. En dat blijkt zo te zijn.