In februari 2018 is de Falcon 9 heavy (kortweg F9h) getest. Dit is een raket die naar Mars moet reizen. Zie figuur 1.
Het bovenaanzicht van het testtraject is schematisch en niet op schaal weergegeven in figuur 2. F9h werd gelanceerd (I) richting een baan om de aarde. Daar aangekomen werd de raket tijdelijk ‘geparkeerd’ in deze baan om de aarde, de zogenaamde parkeerbaan (II). Daarna vervolgde hij zijn weg verder richting Mars (III).
I Lancering
Om in de parkeerbaan te komen, moest de raket brandstof verbranden om voldoende kinetische energie en zwaarte-energie te krijgen. De benodigde zwaarte-energie is niet afhankelijk van de plek waar de raket vanaf aarde gelanceerd werd. De benodigde kinetische energie is wel afhankelijk van de plek van lancering. Omdat de aarde om de aardas draait, heeft het lanceerplatform zelf een snelheid vL. Hierdoor had de raket al voor de lancering kinetische energie.
a. Voer de volgende opdrachten uit: i) Leg met behulp van een formule uit het informatieboek uit dat de snelheid vL bij de evenaar het grootst is.
Voor de baansnelheid geldt $v=\frac{2\pi r}{T}$ De periode van de rotatie van de aarde is altijd 24 uur. Op de evenaar is de afstand r tot de aardas het grootst, dus de baansnelheid v ook.
| gebruik van $v=\frac{2\pi r}{T}$ of $v=\frac{s}{t}$ met $s=2\pi r$ | 1 punt |
| inzicht dat T constant is en dat r het grootst is op de evenaar | 1 punt |
ii) Leg met behulp van een formule uit het informatieboek uit dat er minder brandstof nodig is als de lanceerplek dicht bij de evenaar ligt.
Uit $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ volgt dat bij een grotere snelheid vL er meer kinetische energie bij de start is. (De raketmotoren hoeven dan minder brandstof te verbranden.)
| gebruik van $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ | 1 punt |
| inzicht dat er bij een start vanaf de evenaar meer kinetische energie aanwezig is | 1 punt |
Van de eerste minuten van de beweging van F9h is een (v,t)-diagram gemaakt. Zie figuur 3.
De raket gebruikte een hoofdmotor en extra hulpmotoren. Na ruim 3 minuten werden de hulpmotoren uitgeschakeld en bleef alleen de hoofdmotor van de raket werken. Figuur 3 staat ook op de uitwerkbijlage.
b. Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de versnelling op t = 180 s. Laat in de figuur zien hoe je aan je antwoord komt. Noteer je antwoord in drie significante cijfers.
Uit de raaklijn volgt: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\left(20,0\cdot 10^{3}/3,6\right)}{\left(310-75\right)}=23,6ms^{-2}$ .
| tekenen van de raaklijn op t =180 s / aangeven van een relevant recht deel in de grafiek | 1 punt |
| gebruik van $a=\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{raaklijn}$ | 1 punt |
| omrekenen van $kmh^{-1}$ naar $ms^{-1}$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
II Parkeerbaan
In figuur 4 is in een (h,t)-diagram de hoogte van F9h boven het aardoppervlak uitgezet tegen de tijd.
Ongeveer acht minuten na de lancering bereikte F9h de cirkelvormige parkeerbaan.
c. Bepaal met behulp van figuur 4 en een berekening de baansnelheid van F9h in de parkeerbaan. Noteer je antwoord in drie significante cijfers.
Voor een satellietbaan met een constante hoogte geldt: $\frac{mv^{2}}{r}=G\frac{mM}{r^{2}}\to v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{6,674\cdot 10^{-11}\cdot 5,972\cdot 10^{24}}{6,371\cdot 10^{6}+1,80\cdot 10^{5}}}$ $=7,80\cdot 10^{3}ms^{-1}$ .
| inzicht dat $\frac{mv^{2}}{r}=G\frac{mM}{r^{2}}$ | 1 punt |
| opzoeken van waardes voor G en M | 1 punt |
| bepalen van h (met een marge van 5 km) | 1 punt |
| inzicht dat $A=R_{A}+h$ met opzoeken van RA | 1 punt |
| completeren van de bepaling en significantie | 1 punt |
III Op weg naar Mars
Na een tijd verliet F9h de parkeerbaan en vervolgde de raket de reis naar Mars. Aangenomen wordt dat de snelheid van F9h in dit traject constant was en anders dan de snelheid van F9h in de parkeerbaan. Tijdens een deel van de vlucht werd F9h door een waarnemer W twee keer gefotografeerd. Het zijaanzicht van de baan is schematisch en niet op schaal weergegeven in figuur 5.
F9h legde tussen de tijdstippen van foto 1 en foto 2 een afstand s af. Deze afstand kan bepaald worden uit:
- het hoogteverschil Δh van $9,21\cdot 10^{6}$ m.
- de afstand Δx, die door de waarnemer is bepaald op $4,38\cdot 10^{6}$ m.
Tussen het maken van foto 1 en foto 2 zat een tijd van 20,0 minuten.
d. Voer de volgende opdrachten uit: i) Bereken de afstand s.
Uit de stelling van Pythagoras volgt: $s=\sqrt{\Delta h^{2}+\Delta x^{2}}=\sqrt{\left(9,21\cdot 10^{6}\right)^{2}+\left(4,38\cdot 10^{6}\right)^{2}}=1,02\cdot 10^{7}m$ .
| inzicht dat $s=\sqrt{\Delta h^{2}+\Delta x^{2}}$ | 1 punt |
ii) Bereken de snelheid van F9h op het traject richting Mars.
Tussen foto 1 en 2 zat een tijd van 20,0 minuten. Hieruit volgt: $v=\frac{s}{t}=\frac{1,02\cdot 10^{7}}{20,0\cdot 60}=8,50\cdot 10^{3}ms^{-1}$ .
| gebruik van $v=\frac{s}{t}$ | 1 punt |
| completeren van de berekeningen | 1 punt |
