Mensen op de maan

Onderwerp: Arbeid en energie, Ioniserende straling, radioactiviteit, Kracht en beweging

Een opgave van de redactie van Stichting Exaktueel over mensen op de maan. Op basis van artikelen in de media maakt Stichting Exaktueel opgaven die aansluiten bij het natuurkunde-onderwijs in het voortgezet onderwijs.

Op 29 augustus 2022 berichtte de Volkskrant dat de NASA na iets meer dan 50 jaar opnieuw naar de maan gaat. Dit moet in 2024 gaan gebeuren met de Artemis 2 missie. Om dit in goede banen te leiden wordt de Artemis een missie uitgevoerd. Tijdens deze missie wordt de raket en de Orion capsule getest als ook de uitrusting van de toekomstige astronauten.

WE ARE GOING!, was te lezen op het spandoek bij platform 39B op Kennedy Space center. Na voor het laatst in 1972 op de maan te zijn geweest gaat NASA na iets meer dan 50 jaar opnieuw naar de maan. Eerst met een onbemande “testmissie” maar als deze test succesvol is zal er in 2024 een nieuwe missie komen, de Artemis 2. Dit zal voor het eerst weer een bemande missie naar de maan zijn.  Alvorens het zo ver is wordt er eerste een testvlucht uitgevoerd: de Artemis 1. Op deze vlucht worden verschillende aspecten van de vlucht onderzocht.

Tijdens de Artemis 1 missie wordt er gekeken naar de systemen van de Orioncapsule en de raket. Of deze goed werken. Ook wordt er onderzoek gedaan naar de effecten van de straling die de astronauten oplopen. Hierbij wordt er ook onderzocht hoe goed het speciaal ontwikkelde vest om straling tegen te gaan het doet.

In figuur 1 zie je de Artemis 1 voor zijn lancering. Deze heeft dan een massa van 2,6 . 106 kg.

Figuur 1, Artemis 1. Bron: Nasa
Figuur 1, Artemis 1. Bron: Nasa

Na de lancering worden na zeven seconden op een hoogte van 172 meter, als de raket een snelheid heeft van 126 km/h, als eerste de Solid rocket booster raketten afgestoten (zie figuur 1).   

a) Bereken de gemiddelde stuwkracht van de raketten van de Artemis 1 in de eerste zeven seconden, verwaarloos hier de wrijvingskrachten en neem aan dat de massa de eerste zeven seconden constant is.

$F_{\mathrm{stuw}}=F_{\mathrm{res}} + F_{\mathrm{z}}$

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\left(\frac{126}{3,6} \right )}{7}=5,0~\mathrm{ms}^{-2}$

$F_{\mathrm{res}}=ma=2,6\cdot 10^6\cdot 5,0=13\cdot 10^6~\mathrm{N}$

$F_{\mathrm{z}}=mg=2,6\cdot 10^6\cdot 9,81=25,5\cdot 10^6~\mathrm{N}$

En dus:

$F_{\mathrm{stuw}}=F_{\mathrm{res}}+F_{\mathrm{z}}=13\cdot 10^6+25,5\cdot 10^6=39\cdot 10^6~\mathrm{N}$

 

Vervolgens zal na 8 minuten en 3 seconden de Kern-trap (zie figuur 1) loskoppelen van de Orion-capsule. Dit gebeurt op een hoogte van 162 km bij een snelheid van 28000 km/h.

b) Welk voordeel levert het loskoppelen van de kerntrap en de Solid rocket booster raketten voor de versnelling van de Orion capsule?

Door de massa af te stoten heb je op twee manieren voordeel: de impuls van het afstoten levert voor de Orion Capsule een versnelling op en daarnaast hoeft er ook minder massa te worden versneld waardoor er minder stuwkracht nodig is en dus ook minder brandstof.

In figuur 2 staat de baan van de Orion Capsule aangegeven. Op een hoogte van 3700 km (punt 2 in figuur 2) zal de Orion-capsule, welke een massa heeft van 9.300 kg met een snelheid van 7742 km/h één keer om de aarde vliegen alvorens de capsule koers zet naar de maan. Tijdens dit rondje worden alle systemen nog één keer getest. Dit rondje duurt tot punt 7 in figuur 2. Als alle systemen goed werken zal de Orion-capsule vervolgens in totaal een weg van 400.170 km afleggen alvorens na 26 dagen weer terug te keren in de atmosfeer (punt 17 figuur 2).

Figuur 2. De route van de Artemis 1 missie. Bron: Nasa
Figuur 2. De route van de Artemis 1 missie. Bron: Nasa
c) Bereken de toename in gravitatie-energie van de Orion als deze op een hoogte is aangekomen van 3700 km.  

$\Delta E_g=E_{g2}-E_{g1}=\frac{-GMm}{r_2}-\frac{-GMm}{r_1}=-GMm\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1} \right )$

Invullen geeft:

$\Delta E_g = -6,67384\cdot 10^{-11}\cdot 5,972\cdot 10^{24}\cdot 9300\cdot \left(\frac{1}{6,371\cdot 10^6+3700\cdot 10^3}-\frac{1}{6,371\cdot 10^6} \right )$

En dus:

$\Delta E_g=2,137\cdot 10^{11}~\mathrm{J}$

d) Bereken de middelpuntzoekende kracht op de Orion in zijn baan om de aarde.   

$F_{\mathrm{mpz}}=\frac{mv^2}{r}=\frac{9300\cdot 8611,11^2}{6,371\cdot 10^6 + 3700\cdot 10^3}=6,847\cdot 10^4~\mathrm{N}$

Als je een object van de aarde naar de maan wilt “schieten” dan spelen zowel de gravitatiekracht van de aarde als die van de maan een rol. Omdat de zwaartekracht van de aarde tegenwerkt zou je de gravitatie-energie van de aarde kunnen voorstellen als een energieput waar de Orion capsule uit moet “ontsnappen”. Omdat de zwaartekracht van de maan juist meewerkt met de beweging hoeft dit maar deels. Dit komt doordat op een bepaald moment de Orion capsule de energieput van de maan een significante rol gaat spelen. In figuur 3 staat een rekenkundig model hiervoor. Hierin is Egaarde de gravitatie-energie veroorzaakt door de aarde, Egmaan de gravitatie-energie veroorzaakt door de maan en Egtot de optelsom van deze twee gravitatie-energieën. De straal van de aarde wordt aangegeven met r.

Figuur 3.
Figuur 3.

In dit model is h de hoogte boven het aardoppervlak. Als massa wordt enkel de massa van de Orion-capsule genomen. In het model laten we de hoogte h telkens met kleine stapjes dh toenemen.

e) Geef de waarde die voor x moet worden ingevuld zodat de afstand tussen het zwaartepunt van de maan en de Orion capsule wordt berekend in regel 3.

x = baanstraal van de maan = 384 . 106 (BiNaS 31)

Uit het model volgt een grafiek met de totale energie Etot als functie van de hoogte boven het aardoppervlak x. Zie figuur 4. 

Figuur 4.
Figuur 4.

In figuur 5 staat de gravitatie-energie van de aarde en de maan afzonderlijk berekend als functie van de hoogte. In figuur 4 zie je dat de gravitatie-energie op een bepaalde hoogte weer afneemt.

Figuur 5.
Figuur 5.
f) Leg aan de hand van de figuur 4 uit dat het niet nodig is om eerst aan het gravitatieveld van de aarde te ontsnappen om naar de maan te gaan.

Zoals in figuur 4 te zien is wordt de gravitatie-energie nooit nul. Dit komt omdat op een hoogte 340 . 106 m(vanaf de aarde gemeten) van  de bijdrage van het gravitatieveld van de maan significant wordt. Dat zie  je omdat vanaf dat punt de gravitatie-energie weer afneemt in plaat van toeneemt.

g) Leg uit hoe je in figuur 4 kan zien dat dit punt veel dichter bij de maan licht dan bij de aarde.

 In figuur 4 is te zien dat de gravitatie-energie bij de landing op de maan afneemt tot slechts -38 . 106 J  terwijl deze op aarde -150 . 106 J was.

In de grafiek zie je de gravitatie-energie eerst toenemen en vervolgens weer afnemen. De hoogte waarop de toename overgaat in een afname is het punt waarop de gravitatiekracht van de aarde en de maan elkaar opheffen.

h) Bereken die hoogte.

$F_{G,maan}=F_{G,aarde}\rightarrow \frac{GM_{maan}m}{r_{maan}^2}=\frac{GM_{aarde}m}{r_{aarde}^2}\rightarrow \frac{M_{maan}}{M_{aarde}}=\frac{r_{maan}^2}{r_{aarde}^2}$

Invullen geeft:

$\frac{0,0735\cdot 10^{24}}{5,972\cdot 10^{24}}=\frac{r_{maan}^2}{r_{aarde}^2}=0,012307\rightarrow r_{maan}=0,1109388\cdot r_{aarde}$

Daarnaast geldt ook:

$r_{maan}+r_{aarde}=384,4\cdot 10^6$

Combineren geeft:

$0,1109388\cdot r_{aarde}+r_{aarde}=1,1109388\cdot r_{aarde}=384,4\cdot 10^6$

En dus:

$r_{aarde}=\frac{384,4\cdot 10^6}{1,1109388}=346\cdot 10^6~\mathrm{m}$

En voor de gevraagde hoogte:

$h=346\cdot 10^6-6,371\cdot 10^6=340\cdot 10^6~\mathrm{m}$

Aan boord van de Orion-capsule is plaats voor vier personen. Tijdens de testvlucht zitten er geen astronauten in de capsule. Toch bevat de Orion-capsule drie ‘passagiers’. De eerste wordt grappend een “moonequin” genoemd, met een massa van 70,0 kg. Deze ‘passagier’ wordt onder ander gebruikt om de g-krachten en de trillingen op het lichaam te meten die de passagiers zullen ondergaan tijdens de missie. De andere twee passagiers zijn torso’s waarvan er eentje een speciaal vest draagt en de ander niet. Deze twee torso’s zullen meten hoeveel straling een astronaut oploopt tijdens de missie en hoeveel bescherming het speciale AstroRad vest daartegen biedt. Op die manier wil NASA onderzoeken hoe goed het de astronauten kan beschermen tegen de straling in de ruimte. In de ruimte loopt een persoon in een dag een effectieve dosis van 2,6 mSv op. Dat is net zoveel als je gemiddeld in een jaar op aarde oploopt.

i) Hoeveel dagen mag de missie maximaal duren als de dosislimiet niet mag worden overschreden?

Voor beroepsbevolking geldt een dosislimiet van 20 mSv  per jaar.

$t=\frac{20~\mathrm{mSv}}{2,6~\mathrm{mSv}}=7,7~\mathrm{dagen}$

j) Bereken de hoeveelheid stralingsenergie die een astronaut tijdens deze missie zou oplopen als deze dezelfde massa heeft als de mannequin. Ga uit van een stralingsweegfactor van 1.

Bij een weegfactor van 1 geldt:

$H=D\rightarrow H=26\cdot 2,6=67,6~\mathrm{mSv}$

En:

$E_{str}=m\cdot D=70\cdot 67,6\cdot 10^{-3}=4,732~\mathrm{J}=4,7~\mathrm{J}$

De beschermende laag in het AstroRad vest is 1,5 cm dik.

k) Bereken de halveringsdikte van het AstroRad vest als het net genoeg bescherming biedt om binnen de maximale dosislimiet per jaar te blijven gedurende de testmissie.

$I_t=I_0\cdot \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{d}{d_{\frac{1}{2}}}}\rightarrow 20=67,7\cdot \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{1,5}{d_{\frac{1}{2}}}}\rightarrow 0,296= \left(\frac{1}{2} \right )^{\frac{1,5}{d_{\frac{1}{2}}}}$

Dit werken we uit met behulp van de logaritme:

$\log(0,296)=\frac{1,5}{d_{\frac{1}{2}}}\cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)$

Dit geeft:

$d_{\frac{1}{2}}=1,5\cdot \frac{\log\left(\frac{1}{2} \right )}{\log(0,296)}=0,85~\mathrm{cm}$