Adelaarsnevel (VWO examen,2022-2, opg 3)

Onderwerp: Astrofysica, Sterrenkunde

Examenopgave VWO, natuurkunde, 2022 tijdvak 2, opgave 3: Adelaarsnevel

Een interstellaire wolk is een groot gebied in het heelal, van vele tientallen lichtjaren in omvang, dat zeer ijl gas bevat. Dit gas bestaat voor het grootste deel uit atomair waterstof.
Onder bepaalde omstandigheden kan een interstellaire wolk zelf licht uitzenden. De wolk wordt dan een emissienevel genoemd. Figuur 1 is een foto van zo’n nevel, de Adelaarsnevel.

In een emissienevel wordt voortdurend waterstof geïoniseerd, waarna de protonen en elektronen weer recombineren tot atomen. Hierbij wordt zichtbaar licht uitgezonden. De lijnen van het waterstofspectrum zijn altijd terug te vinden in het spectrum van een emissienevel. Eén van de waterstoflijnen overheerst in het zichtbare spectrum, namelijk de lijn met een golflengte van 656,28 nm. Emissienevels hebben daardoor vaak een karakteristieke rode kleur.

1) Voer de volgende opdrachten uit:
a) Bereken, uitgaande van de gegeven golflengte, de fotonenergie in eV van de overheersende waterstoflijn in het spectrum van een emissienevel. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
b) Toon met behulp van de formule voor de energie van het waterstofatoom aan dat deze lijn hoort bij de overgang tussen de eerste en de tweede aangeslagen toestand van waterstof.
c) Geef aan of het een overgang is van eerste naar tweede aangeslagen toestand of andersom.

a) Er geldt:
$E_{f}= \frac{hc}{\lambda }$
Invullen levert:
$E_{f}= \frac{6,62607\cdot 10^{-34}\cdot 2,99792\cdot 10^{8}}{656,28\cdot 10^{9}}= 3,02682\cdot 10^{-19}\, \textup{J}$
Omrekenen naar eV geeft:
$E_{f}= \frac{3,02682\cdot 10^{-19}}{1,60218\cdot 10^{-19}}= 1,8892\, \textup{eV}$

b) Voor de energieniveaus van het waterstofatoom geldt:
$E_{n}= \frac{-13,6\, \textup{eV}}{n^{2}}$
Het eerste aangeslagen niveau is n = 2 en het tweede is n = 3 , dus voor de energie van de overgang geldt:
$\left | E_{2\rightarrow 3} \right |= \left ( \frac{1}{2^{2}} -\frac{1}{3^{2}}\right )\cdot 13,6\, \textup{eV}= 1,89\, \textup{eV}$
Deze energie is gelijk aan de fotonenergie van de 656,28 nm-lijn.

c) Het gaat om een emissielijn, dus de overgang is van de tweede aangeslagen toestand naar de eerste.

Om van een interstellaire wolk een emissienevel te maken moet aan twee voorwaarden worden voldaan:
1. er moet een ster in de nevel aanwezig zijn,
2. deze ster moet vooral straling uitzenden met frequenties die groter zijn dan van zichtbaar licht.

2) Leg uit waarom voorwaarde 2 noodzakelijk is.

Voor het aanslaan of het ioniseren van waterstof is veel energie nodig (respectievelijk 12,1 eV en 13,6 eV). De fotonenergie van zichtbaar licht is daarvoor niet voldoende. Dus moet de frequentie van de uitgezonden straling groter zijn dan van zichtbaar licht.

Het valt Eva en Isa op dat ster HD168076 op dezelfde plek aan de hemel staat als de Adelaarsnevel. Deze ster wordt in de rest van deze opgave ‘de ster’ genoemd. Eva en Isa willen de hypothese toetsen dat de ster één van de sterren is die van de interstellaire wolk een emissienevel maakt. De planckkromme van de ster is in figuur 2 weergegeven.

3) Leg met behulp van figuur 2 uit dat de ster aan voorwaarde 2 voldoet.

De ster zendt het overgrote deel van de straling uit in het golflengtegebied onder 380 nm. Dus met een frequentie groter dan van zichtbaar licht.

4) Toon met behulp van figuur 2 aan dat de ster een temperatuur van 4·104 K heeft.

De top van het spectrum ligt bij:
$\lambda _{max}T= 0,07\mu m.$
Er geldt:
$T= \frac{k_{w}}{\lambda _{max}}= \frac{2,90\cdot 10^{-3}}{0,07\cdot 10^{-6}}= 4\cdot 10^{4}\, \textup{K}$

Hieronder is een Hertzsprung-Russelldiagram weergegeven. Op de verticale as staat het uitgezonden vermogen ten opzichte van de zon, op een logaritmische schaal. Op de horizontale as staat de temperatuur, aflopend van links naar rechts, eveneens op een logaritmische schaal. De ster is een ster op de hoofdreeks. Eva en Isa benaderen de hoofdreeks met een lijn. Deze lijn is getekend in de figuur hieronder. Ze gaan ervan uit dat hoofdreekssterren op deze lijn liggen.

5) Voer de volgende opdrachten uit:
a) Toon met behulp van bovenstaande figuur aan dat het uitgestraald vermogen van de ster gelijk is aan 2·1032 W.
b) Bereken hiermee de straal van de ster.

Voor een ster op de hoofdreeks volgt uit het HR-diagram bij T = 4·104 K dat 
$\frac{P}{P_{zon}}= 10^{5,7}$
Dit betekent (Pzon kun je opzoeken):
$P_{ster}= 10^{5,7}P_{zon}= 10^{5,7}\cdot 3,85\cdot 10^{26\, }\textup{W}= 1,93\cdot 10^{32}\, \textup{W}$
Dit is gelijk aan 2·1032 W.

b) Voor het uitgestraalde vermogen geldt:
$P= \sigma AT^{4}$  hierin is A gelijk aan  $4\pi R^{2}$
$R= \left ( \frac{P}{4\sigma T^{4}} \right )^{\frac{1}{2}}= \left ( \frac{2\cdot 10^{32}}{4\pi \cdot 5,6\cdot 10^{-8}\cdot \left ( 4\cdot 10^{4} \right )^{4}} \right )^{\frac{1}{2}}= 1\cdot 10^{10}\, \textup{m}$

Eva en Isa gebruiken een optische telescoop om de stralingsintensiteit van de ster te bepalen die op aarde wordt ontvangen. De telescoop detecteert 60% van de stralingsintensiteit in het golflengtegebied van 400 tot 800 nm.
Eva en Isa meten met deze telescoop een stralingsintensiteit van 4,7·10-11Wm-2 in dit golflengtegebied. Uit hun meting bepalen ze met behulp van figuur 2 dat de totale ontvangen stralingsintensiteit op aarde van de ster 3,4·10-9Wm-2 is.
Figuur 2 staat vergroot hieronder. Het gebied onder de grafiek tussen 400 nm en 800 nm is gearceerd. De oppervlakte van dit gebied is gelijk aan 0,2 hokje.

6) Voer de bepaling van Eva en Isa uit en toon aan dat de uitkomst inderdaad tussen 3·10-9 Wm-2 en 4·10-9 Wm-2 ligt.

De stralingsintensiteit tussen 400 en 800 nm is: 
$\frac{4,7\cdot 10^{-11}\, \textup{Wm}^{-2}}{0,60}= 7,8\cdot 10^{-11}\, \textup{Wm}^{-2}$
Dit komt overeen met 0,2 hokje in het diagram. De oppervlakte onder de grafiek tussen 0 en 0,4  $\mu m$  is 8,5 hokjes. (De totale oppervlakte is dus 8,7 hokje.) Dus de totale ontvangen stralingsintensiteit is:
$\frac{8,7}{0,2}\cdot 7,8\cdot 10^{-11}= 3,4\cdot 10^{-9}\, \textup{Wm}^{-2}$

De Adelaarsnevel bevindt zich op een afstand van 7·103 lichtjaar.

7) Toon met behulp van een berekening aan of aan voorwaarde 1 kan zijn voldaan.

Er geldt:
$I= \frac{P}{4\pi r^{2}}$  dus  $r= \left ( \frac{P}{4 \pi I} \right )^{\frac{1}{2}}$
Nu kun je een aantal dingen invullen, dit resulteert in:
$r\left ( \frac{2\cdot 10^{32}}{4\pi \cdot 3,4\cdot 10^{-9}} \right )^{\frac{1}{2}}= 7\cdot 10^{19}\, \textup{m}$
En nu de afstand omrekenen naar lichtjaar: 
$r= \frac{7\cdot 10^{19}}{9,46\cdot 10^{15}} = 7\cdot 10^{3}\, \textup{lichtjaar}$
De ster bevindt zich dus in of nabij de Adelaarsnevel. Dus aan voorwaarde 1 kan zijn voldaan.

Bronvermelding:
figuur 1: bron: https://apod.nasa.gov/apod/image/1406/m16_32block.jpg
Hertzsprung-Russelldiagram: bron: https://www.eso.org/public/images/eso0728c/