Deze opgaven horen bij het artikel Quantumverstrengeling deel 2.
Verstrengelde deeltjes bevinden zich in een en dezelfde quantumtoestand. Meet je bijvoorbeeld de polarisatie van de één, dan weet je onmiddellijk de polarisatie van de ander. De vraag is: hadden de deeltjes voordat je ging meten die eigenschap al of krijgen ze die door de meting? De beroemde Bell-ongelijkheid geeft aan hoe de meetuitkomsten zich gedragen als het eerste geldt. In opgave 1 toon je aan dat de Bell-ongelijkheid voor zo’n klassieke situatie moet gelden. In opgave 2 laat je zien wanneer de quantumtoestand afwijkende resultaten zal geven en de Bell-ongelijkheid geschonden wordt.
Opgave 1
In de tekst kun je lezen dat volgens Bell het volgende geldt (vergelijking 4):
n(h,φ+) + n(φ−,θ+) − n(h,θ+) ≥ 0 (4)
wanneer er op een of andere manier verborgen variabelen zijn en de fotonen kunnen elkaar niet op afstand beïnvloeden.
Stelling: Er is geen enkele manier om het linkerlid van vergelijking (4) kleiner dan nul te maken!
a) Controleer dit eerst met een ‘experiment’. Maak daarvoor een tabel met drie kolommen: achtereenvolgens voor h, φ en θ. Vul de rijen willekeurig (gebruik b.v. een munt) met – en +. Dit zijn je ‘meetuitkomsten’. Dat ziet er dan zo uit:
| h | φ | θ |
| + | - | - |
| .. | ... | ... |
n(h,φ+) is nu het aantal rijen waarin h = + en φ = –, n(φ−,θ+) waarin φ = – en θ = +, en n(h,θ+) waarin h = + en θ = +. Tel deze aantallen en controleer of daarmee aan vergelijking (4) is voldaan.
Nu heb je nog niet bewezen dat altijd aan vergelijking (4) is voldaan. Dat zou oneindig veel tijd kosten. Gelukkig kun je zelf eenvoudig inzien dat het wel zo moet zijn.
b) Leg uit dat er acht verschillende rijen zijn in je tabel h, φ en θ (opgave 1a).
Je zou de uitkomsten uit de tabel van opgave 1a in een taartdiagram kunnen weergeven. Elke taartpunt staat dan voor het aantal rijen met één mogelijke uitkomst; bijvoorbeeld het aantal rijen met +++.
c) Neem onderstaand taartdiagram over en vul de acht verschillende uitkomsten in. (De grootte van de taartpunten zijn willekeurig.)
d) Gebruik een potlood om de partjes (licht) te arceren die overeenkomen met n(h,φ+). Dat zijn dus de partjes met +++ en met ++–. Doe hetzelfde voor n(φ−,θ+), dus partjes met +–+ en – –+. In de Bell-ongelijkheid (vergelijking 4) zijn dit de aantallen die we moeten optellen. Merk op dat geen partje twee keer hebt hoeven arceren.
e) In de Bell-ongelijkheid moeten we hier n(h,θ+) weer vanaf halen. Je zult zien dat dit overeenkomt met al gearceerde partjes. Gum dus de partjes die hiermee overeenkomen weer uit (met +++ en +–+).
f) Trek een conclusie op basis van het taartdiagram dat je nu overhoudt.
Opgave 2
In de tekst staat dat op basis van vergelijkingen (1) t/m (4) de quantumtheorie voorspelt dat bij N keer meten de volgende aantallen te verwachten zijn:
n(h,φ+) = ½N·cos2(φ)
n(h,θ+) = ½N·cos2(θ)
n(φ−,θ+) = ½N·sin2(θ − φ)
a) Leg uit waar die factor van een half vandaan komt.
b) Leid de derde formule af. Tip: Gebruik hiervoor figuur 2b. De hoeken φ en θ zijn gedefinieerd ten opzichte van de horizontale richting. Teken op basis daarvan de φ−-component. Ontbind die component nu in de θ+-richting.
De Bell-ongelijkheid luidt: n(h,φ+) + n(φ−,θ+) − n(h,θ+) ≥ 0
c) Leid nu het in de tekst gegeven verband af: cos2(3θ) + sin2(2θ) − cos2(θ) ≥ 0
d) Teken met behulp van je grafische rekenmachine het linkerlid van de Bell-ongelijkheid. Let op dat je rekenmachine is ingesteld op hoeken in graden (niet radialen).
e) Bepaal bij welke hoek het quantumresultaat het meest afwijkt van wat er klassiek minimaal mogelijk is (nul dus).
f) Als samenvatting: geef een experimentator advies hoe hij/zij het beste de detectoren in het Bell-experiment kan instellen.
Antwoorden
Opgave 1
a) Zelf doen.
b) Er zijn drie richtingen waarin gemeten wordt, aangegeven met h, φ en θ. In elk van die richtingen zijn er twee uitkomsten: + of –. Die zijn onafhankelijk van elkaar. Dus er zijn totaal 2 × 2 × 2 = 8 verschillende uitkomsten.
c) Dat ziet er bijvoorbeeld zo uit:
d) Dat ziet er dan zo uit:
e) Het eindresultaat:
f) De partjes die overgebleven zijn komen overeen met de uitkomst van n(h,φ+) + n(φ−,θ+) − n(h,θ+). Aangezien een partje altijd een waarde heeft groter of gelijk aan nul, is de uitkomst ook groter of gelijk aan nul. Dat moest bewezen worden, dat is de Bell-ongelijkheid.
Opgave 2
a) Ga als voorbeeld uit van: n(h,φ+) = ½N·cos2(φ). Je meet N keer en bent geïnteresseerd in de situatie dat het foton zich rechts in de H-toestand bevindt. Links heb je dus de V-toestand gemeten. Dat gebeurt (gemiddeld) in de helft van de gevallen.
b) Een tekening helpt hier:
De vector φ− moet ontbonden worden in de θ+ en θ−-richting. Voor n(φ−,θ+) is de component θ+ van belang. Die maakt een hoek α met de φ−-richting. Dus: θ+ = φ−·cos(α). Maar de hoek α kun je uitdrukken in de andere hoeken (zie de tekening): α = 90° + θ − φ. Dan volgt:
θ+ = φ−·cos(α) = φ−·cos(90° + θ − φ) = −φ−·sin(θ − φ)
Voor de kans op deze meetuitkomst moet je het kwadraat nemen van de factor voor φ−. Met N keer meten krijg je dan: n(φ−,θ+) = ½N·sin2(θ − φ). Dat moest afgeleid worden.
c) Zoals in de tekst aangegeven moet je φ = 3θ invullen in de Bell-ongelijkheid, met de quantumkansen: cos2(φ) + sin2(θ − φ) − cos2(θ) ≥ 0.
Voor het linkerlid volgt dan:
cos2(φ) + sin2(θ − φ) − cos2(θ) =
cos2(3θ) + sin2(θ − 3θ) − cos2(θ) =
cos2(3θ) + sin2(−2θ) − cos2(θ) =
cos2(3θ) + sin2(2θ) − cos2(θ)
Dat komt overeen met het gegeven verband in de tekst.
In de laatste regel is gebruikt dat sin(−x) = −sin(x). Maar omdat vervolgens het kwadraat wordt genomen, valt de min weg.
d) Zelf doen.
e) Met G-Solv kun je vinden: θ = 20°. Dan is het linkerlid van de Bell-ongelijkheid is dan gelijk aan −0,22.
f) Uiteraard moet de experimentator kiezen θ = 20°. Omdat φ = 3θ, moet φ = 60°. Er moeten drie reeksen van experimenten uitgevoerd worden.
1) Links staat de detector verticaal, rechts onder een hoek van 60° met de horizontaal. Het aantal metingen waarbij links V wordt gemeten en rechts + in de 60°-richting is n(h,φ+).
2) Links staat de detector onder een hoek van 60° met de horizontaal (de φ+-richting). Rechts staat de detector onder een hoek van 20° met de horizontaal (de θ+-richting). Het aantal metingen is n(φ−,θ+).
3) Links staat de detector verticaal en rechts onder een hoek van 20° met de horizontaal (de θ+-richting). Het aantal metingen is n(h,θ+).
