Caroteen is een stof die veel in de natuur voorkomt. Onder andere in wortels en in mango’s, waar het verantwoordelijk is voor de oranje kleur.
Figuur 1 geeft schematisch het molecuul van caroteen weer. Centraal in het molecuul is een lange keten van 22 koolstof-atomen, in figuur 1 aangegeven met zwarte figuurtjes. Elk van deze koolstofatomen levert één elektron dat vrij over de hele lengte L van de keten kan bewegen.
Voor de energieniveaus van die vrije elektronen gelden de volgende regels:
— De energiewaarden van de niveaus kunnen berekend worden met het model van een eendimensionale energieput.
— Er zitten maximaal twee elektronen in hetzelfde energieniveau.
In figuur 2 is het energieniveauschema van de vrije elektronen weergegeven. De toestand waarin alle niveaus van n = 1 tot en met n =11 volledig bezet zijn noemen we de grondtoestand van het molecuul. In figuur 2 is ook de overgang getekend van een elektron uit het niveau n = 11 naar het niveau n = 12.
a) Bereken de golflengte van de fotonen die bij deze overgang geabsorbeerd worden.
Voor de overgang van niveau 11 naar 12 geldt: $\Delta E=2,75 \textup{ eV.}$
Er geldt: $E_\textup{f}=\dfrac{hc}{\lambda}.$ (er geldt ook: $\Delta E=E_\textup{f}$ )
Omschrijven en invullen levert: $\lambda = \dfrac{hc}{E_\textup{f}}=\dfrac{6,626\cdot10^{-34}\cdot2,998\cdot10^8}{2,75\cdot1,602\cdot10^{-19}}=4,51\cdot10^{-7}\textup{ m}=451\textup{ nm.}$
Uitgaande van het energieverschil tussen niveau 11 en 12 kan de (effectieve) lengte L van de lange keten van koolstofatomen berekend worden.
b) Bereken deze lengte L.
Voor de energieniveaus geldt: $E_\textup{n}=n^2\dfrac{h^2}{8mL^2}.$
Voor de overgang van n = 11 naar n = 12 geldt dus: $\Delta E=\left(12^2-11^2 \right)\dfrac{h^2}{8mL^2}.$
Dit levert: $L=\sqrt{\dfrac{(144-121)\left(6,626\cdot10^{-34} \right)^2}{8\cdot9,109\cdot10^{-31}\cdot2,75\cdot1,602\cdot10^{-19}}}=1,77\cdot10^{-9}\textup{ m}=1,77\textup{ nm.}$
Caroteen absorbeert geen infrarood maar wel ultraviolet.
c) Leg met behulp van het energieniveauschema in figuur 2 uit waarom caroteen vanuit de grondtoestand infrarood licht niet absorbeert en ultraviolet licht wel absorbeert.
In figuur 2 zijn overgangen met n lager dan 11 niet mogelijk. Dit is omdat elk lager niveau al 2 elektronen bevat. Dus alleen fotonenergieën groter of gelijk aan 2,75 eV zijn mogelijk. In BiNaS tabel 19A / Science Data pagina 75 is te zien dat de fotonenergie van infrarood kleiner is dan 2,75 eV. Dus infrarood wordt niet geabsorbeerd.
Voor ultraviolet geldt dat de fotonenergie groter is dan 2,75 eV, dus dat kan wel worden geabsorbeerd.
