Een mondharp is een muziekinstrumentje met een metaalplaatje dat maar aan één kant vast zit. Dit metaalplaatje kan als ‘trilplaatje’ gebruikt worden, zie figuur 1. Het instrumentje wordt met de pootjes tegen de voortanden gezet. Zie figuur 2. Door het metaalplaatje aan te slaan, gaat het plaatje trillen en produceert een grondtoon.
Met behulp van een computermeting kan een (u,t)-diagram van de trilling van het metaalplaatje worden gemaakt. Het diagram hiervan is weergegeven in figuur 3. Hierin is de uitwijking uitgezet tegen de tijd.
a) Bepaal, met behulp van figuur 3, de frequentie van de grondtoon van deze mondharp.
methode 1
Voor de frequentie geldt: $f=\dfrac{1}{T}$ , waarin $T=\dfrac{0,295-0,198}{8}=0,0121\textup{ s.}$
Hieruit volgt dat $f=\dfrac{1}{0,0121}=82\textup{ Hz.}$
of
methode 2
Uit de figuur is af te lezen dat er 8 trillingen gemaakt worden in $0,295-0,198=0,097\textup{ s.}$
Hieruit volgt $f=\dfrac{8}{0,097}=82\textup{ Hz.}$
Een andere mondharp heeft een metaalplaatje van 8,5 cm lang, 3,5 mm breed en 0,50 mm dik. Het metaalplaatje is gemaakt van staal.
b) Bereken de massa van het metaalplaatje.
Voor de massa van het metaalplaatje geldt: $m=\rho V$ .
Hierin is $\rho=7,8\cdot10^3\textup{ kgm}^{-3}$ en $V= 8,5\cdot10^{-2}\cdot3,5\cdot10^{-3}\cdot0,50\cdot10^{-3}=1,49\cdot10^{-7}\textup{ m}^3.$ (de $\rho$ (dichtheid) van staal is te vinden in je tabellenboek)
Invullen geeft: $m=\rho V=1,49\cdot10^{-7}\cdot7,8\cdot10^3=1,2\cdot10^{-3}\textup{ kg.}$
De frequentie van de grondtoon van het metaalplaatje wordt gegeven door:
$f_\textup{g}=c\dfrac{vd}{l^2}\textup{ .}$
Hierin is:
− fg de frequentie in Hz;
− v de geluidssnelheid in het materiaal van het metaalplaatje in m s−1;
− d de dikte van het metaalplaatje in m;
− l de lengte van het metaalplaatje in m;
− c een constante, met een waarde van 0,162.
c) Toon aan dat de constante c geen eenheid heeft.
$\left[ f_\textup{g} \right] = [c]\dfrac{[v][d]}{[l]^2}.$
Hieruit volgt dat $[c]=\dfrac{\left[ f_\textup{g} \right][l]^2}{[v][d]}=\dfrac{\textup{s}^{-1}\textup{m}^2}{\textup{ms}^{-1}\textup{m}}=1.$
d) Bereken de frequentie van de grondtoon van deze mondharp.
methode 1 Binas
Voor de frequentie van de grondtoon geldt: $f_\textup{g}=c\dfrac{vd}{l^2}.$
Hierin is $c=0,162; v_\textup{staal}=5,1\cdot10^3\textup{ ms}^{-1};d=0,50\cdot10^{-3}\textup{ m}; l=8,5\cdot10^{-2}\textup{ m.}$ ( $v_\textup{staal}$ (de geluidssnelheid door staal) is te vinden in je tabellenboek)
Invullen geeft $f_\textup{g}=c\dfrac{vd}{l^2}=0,162\dfrac{5,1\cdot10^{3}\cdot0,50\cdot10^{-3}}{\left( 8,5\cdot10^{-2}\right)^2}=57\textup{ Hz.}$
of
methode 2 Sciencedata
Voor de frequentie van de grondtoon geldt: $f_\textup{g}=c\dfrac{vd}{l^2}.$
Hierin is $c= 0,162; v_\textup{staal} = 5790\textup{ ms}^{-1}; d= 0,50\cdot 10^{-3}\textup{ m}; l= 8,5\cdot 10^{-2}\textup{ m.}$
Invullen geeft $f_{g}= c\dfrac{vd}{l^{2}}= 0,162\dfrac{5790\cdot 0,50\cdot 10^{-3}}{(8,5\cdot 10^{-2})^{2}}= 65\textup{ Hz.}$
Naast de grondtoon produceert een mondharp ook boventonen.
e) Geef in de figuur de plaats van de knopen K en buiken B aan op het metaalplaatje als dit plaatje trilt met de eerste boventoon.
(Links zit een vast uiteinde, dus altijd een knoop. Rechts zit een open uiteinde dus altijd een buik.
De grondtoon is de kortste combinatie die mogelijk is met die 2 eisen. En dus is de grondtoon hier K B, dit is een kwart golflengte.
Elke 1 boventoon hoger moet je precies 1 K en 1 B toevoegen. Dus voor de eerste boventoon wordt dat K B K B)
Een mondharp gebruikt de mondholte en keelholte als klankkast. Deze holtes vormen samen een luchtkolom met een open en een gesloten uiteinde. Door de lengte van deze luchtkolom te veranderen, verandert de klank van de toon, omdat verschillende tonen versterkt worden. Zie figuur 4A en 4B.
In figuur 4A is de keelholte open. In figuur 4B staat de mondholte niet meer in verbinding met de keelholte.
f) Leg uit welke situatie (figuur 4A of 4B) geschikt is voor het versterken van een zo laag mogelijke toon.
De laagst mogelijke toon heeft een langere golflengte, want $f=\dfrac{v}{\lambda}.$ (De laagst mogelijke toon is de grondtoon. Er is 1 open en 1 gesloten uiteinde, dus de grondtoon is 1 knoop en 1 buik, dus een 0,25 $\lambda$ )
In beide holtes is de geluidssnelheid hetzelfde, dus de laagste toon heeft de langste golflengte en dus de langste klankkast. De figuur 4A zal dus de lagere toon laten horen.
(Het is heel belangrijk dat als je een "Leg uit"-vraag uitlegt aan de hand van een formule dat je van alle symbolen/grootheden zegt wat er mee gebeurt. Je wilt nu iets zeggen over de golflengte $\lambda$ aan de hand van een veranderende frequentie f. De tip is dus: benoem ook expliciet dat v in dit geval dus constant blijft.)
De lengte van de mond- en keelholte tot aan de stembanden is 17 cm. Deze lengte is gelijk aan een kwart van de golflengte. De temperatuur van de lucht in de mond en de keel is 313 K.
g) Bereken de frequentie van de laagste toon die dan versterkt wordt.
De klankkast is 17 cm lang, dus 0,25 λ = 0,17 m. (want: "Deze lengte is gelijk aan een kwart van de golflengte.")
Hieruit volgt dat λ = 0,68 m.
De geluidsnelheid bij 313 K is 354 m s−1 (Binas) of 355 m s-1 (Sciencedata).
De frequentie van de laagste toon is dan $f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{354}{0,68}=5,2\cdot10^{2}\textup{ Hz.}$
