In het British Museum staat de beker van Lycurgus (zie figuur 1a en 1b).
De kleur van het glas van deze beker hangt af van de belichting. Als de beker van binnenuit wordt beschenen met wit licht, dan heeft de beker een rode kleur. Als de beker van buitenaf wordt beschenen met wit licht, dan heeft de beker een groene kleur.
Dit verschijnsel wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van nanodeeltjes goud in het glas. Nanodeeltjes zijn deeltjes die kleiner zijn dan 100 nm. Als het glas wordt beschenen, wordt een deel van het licht door het glas geabsorbeerd en wordt de rest van het licht doorgelaten. De mate van absorptie is afhankelijk van de golflengte van het licht dat erop valt. Een deel van het geabsorbeerde licht wordt weer uitgezonden met dezelfde golflengte. Dit is zichtbaar als gereflecteerd licht.
In figuur 2 is weergegeven hoe de mate van absorptie door de nanodeeltjes in de beker van Lycurgus afhangt van de golflengte van het licht.
De buitenkant van de beker kleurt bij belichting van binnenuit rood (figuur 1a) en bij belichting van buitenaf groen (figuur 1b).
a) Leg dit uit met behulp van figuur 2.
Uit figuur 2 blijkt dat vooral groen (en blauw) licht wordt geabsorbeerd en rood licht nauwelijks. Rood licht wordt dus doorgelaten. Daarom kleurt de beker in figuur 1a rood. Groen licht wordt gereflecteerd. Daarom kleurt de beker in figuur 1b groen.
Het ontstaan van de absorptiepiek in figuur 2 kan worden begrepen met behulp van het zogenaamde plasmonmodel. Uitgangspunt van dit model is dat elk metalen nanodeeltje bestaat uit veel positieve ionen, omringd door geleidingselektronen. Deze geleidingselektronen reageren op licht. Een lichtgolf heeft een sinusvormig variërend elektrisch veld, dat de geleidingselektronen als één geheel in trilling brengt. Deze trillende wolk van geleidingselektronen wordt ook wel een ‘plasmon’ genoemd.
In figuur 3 is de situatie voor een plasmon op twee verschillende tijdstippen weergegeven. De lichtgolf in figuur 3 beweegt naar rechts. Op tijdstip t1 heeft het elektrisch veld het negatieve plasmon naar zijn hoogste stand getrokken en op een later tijdstip t2 naar zijn laagste stand. De positieve ionen blijven op hun plaats, waardoor een ladingsscheiding in het nanodeeltje optreedt. De richting van het elektrisch veld $\vec{E}$ is in de figuur aangegeven. Op de positie van het nanodeeltje wisselt $\vec{E}$ dus voortdurend van richting. Dit is een reden waarom het plasmon telkens weer in de richting van de evenwichtspositie beweegt.
b) Voer de volgende opdrachten uit:
— Geef aan waardoor de metaalionen op hun plaats blijven.
— Geef een andere reden dan het elektrisch veld van de lichtgolf waarom het plasmon telkens weer in de richting van de evenwichtspositie beweegt.
— In figuur 3 is aangegeven dat de lichtgolf naar rechts beweegt. Leg aan de hand van de figuur uit dat dit inderdaad het geval is.
— De metaalionen zijn veel zwaarder en trager dan de elektronen. / De metaalionen zitten vast in het rooster.
— De positieve en negatieve ladingen die ontstaan zijn door de ladingsscheiding trekken elkaar aan, waardoor de elektronen steeds weer naar de evenwichtsstand teruggaan.
— Bij een naar rechts bewegende golf passeert tussen tijdstip t1 en tijdstip t2 een omhoog gericht elektrisch veld. Er werkt dus tussen tijdstip t1 en tijdstip t2 een omlaag gerichte elektrische kracht op het plasmon. Dit komt overeen met de figuur: het plasmon beweegt tussen tijdstip t1 en tijdstip t2 omlaag.
De absorptiepiek in figuur 2 is het gevolg van resonantie. De sterkste absorptie van licht vindt plaats als de eigenfrequentie van het plasmon overeenkomt met de frequentie van het licht dat erop valt. Het plasmonmodel is vergelijkbaar met een massa-veersysteem waarbij de elektrische kracht de rol van veerkracht heeft. Voor de resonantiefrequentie van het plasmonmodel geldt:
$f_\textup{res} = k\sqrt{\dfrac{ne^2f}{\pi m}}$ (1)
Hierin is:
— fres de frequentie waarbij resonantie optreedt in Hz
— n het aantal geleidingselektronen per m3
— e de lading van het elektron in C
— f de constante (in de wet) van Coulomb in Nm2C-2
— m de massa van een elektron in kg
— k een constante
c) Leid af of k een eenheid heeft.
Uit formule (1) volgt voor de eenheid van k:
$[k]=\dfrac{\left[f_\textup{res} \right ]}{\left[ \sqrt{\dfrac{ne^2f}{\pi m} }\right] }=\dfrac{\textup{s}^{-1}}{\left( \dfrac{\textup{m}^{-3}\textup{C}^2\textup{Nm}^2\textup{C}^{-2}}{\textup{kg}} \right)^\frac{1}{2} }=\dfrac{\textup{s}^{-1}}{\left( \dfrac{\textup{Nm}^{-1}}{\textup{kg}} \right)^\frac{1}{2} }$
Invullen van N = kg m s-2 geeft: $[k]=\dfrac{\textup{s}^{-1}}{\left( \dfrac{\textup{kg m s}^{-2}\textup{m}^{-1}}{\textup{kg}}\right)^\frac{1}{2}}=\dfrac{\textup{s}^{-1}}{\textup{s}^{-1}}\textup{ .}$
De constante k heeft dus geen eenheid.
Goud bevat één geleidingselektron per ion.
Voor goud geldt: $n=5,90\cdot10^{28}\textup{ m}^{-3}.$
d) Toon dat aan.
Omdat elk ion maar één geleidingselektron heeft, is n gelijk aan het aantal atomen per m3, dus $n=\dfrac{\rho}{m_\textup{at}}\textup{ .}$
$\rho$ is opzoekbaar.
Er geldt: $m_{at}= A\cdot u$ en A is opzoekbaar.
$m_\textup{at}=197,0\cdot1,661\cdot10^{-27}=3,272\cdot10^{-25}\textup{ kg.}$
Dit geeft: $n=\dfrac{\rho}{m_\textup{at}}=\dfrac{19,3\cdot10^3}{3,272\cdot10^{-25}}=5,90\cdot10^{28}\textup{ m}^{-3}\textup{ .}$
De constante k hangt onder andere af van de grootte en de vorm van het nanodeeltje.
e) Bepaal met behulp van formule (1) de waarde van de constante k die hoort bij de absorptiepiek in figuur 2.
De absorptiepiek in figuur 2 zit bij $5,25\cdot10^2 \textup{ nm.}$
Uit $c=f\lambda$ volgt dat $f_\textup{res}=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{2,998\cdot10^8}{5,25\cdot10^{-7}}=5,710\cdot 10^{14}\textup{ Hz.}$
Invullen in formule (1) geeft:
$5,710\cdot10^{14}=k\sqrt{\dfrac{5,90\cdot10^{28}\cdot\left( 1,602\cdot10^{-19}\right)^2\cdot8,988\cdot10^9}{\pi \cdot 9,109\cdot10^{-31}}}=k\cdot2,181\cdot10^{15}\textup{ ,}$
dus:
$k=\dfrac{5,710\cdot10^{14}}{2,181\cdot10^{15}}=0,262\textup{ .}$
