Een schommelsprong is een stunt waarbij een springer aan een speciaal touw van een brug springt. Het touw hangt onder de brug door en is aan de andere zijde bevestigd. Na een korte val recht omlaag gaat de springer daardoor over in een schommelbeweging. Zie de figuren hieronder.
In figuur 1 zijn schematisch de beginsituatie en de baan van de beweging getekend. Er wordt gesprongen vanaf punt A. Het touw zit vast in punt B. In het laagste punt van de baan gaat de springer door evenwichtsstand E.
Lara voert voor een praktische opdracht metingen uit aan een video van een vrouw die een schommelsprong maakt. Uit de videometing volgt het (v,t)-diagram in figuur 2. Hierbij is de grootte van de snelheid positief weergegeven op de heenweg (van S richting E) en negatief op de terugweg (van E richting S).
De schommelsprong begint met een val totdat het touw strak staat. Daarna gaat de beweging over in een schommelbeweging. Zie punt S in figuur 1. Een deel van figuur 2 staat vergroot hieronder.
a) Bepaal de afstand van de val met behulp van de figuur hierboven.
methode 1
De afstand waarover de springer valt, is gelijk aan de oppervlakte onder de (v,t)-grafiek tot t = 1,0 s (omdat een vrije val een rechte lijn betekent in het (v,t)-diagram en dus tot 1,0 s.).
De afstand van de val is dan gelijk aan $s=\frac{1}{2}\cdot1,0\cdot9,6=4,8\textup{ m.}$
of
methode 2
De afstand waarover de springer valt, is uit te rekenen met s = vt met
$v=v_\textup{gem}=\left(\dfrac{9,6+0}{2} \right)=4,8\textup{ ms}^{-1}\textup{.}$ (omdat een vrije val een rechte lijn betekent in het (v,t)-diagram en dus tot 1,0 s.).
De vrije val duurt tv = 1,0 s, dus: $s= vt = 4,8\cdot 1,0=4,8\textup{ m.}$
Op het moment dat de springer voor de eerste keer in het laagste punt van de baan door de evenwichtsstand E slingert, is de spankracht in het touw maximaal. Deze maximale spankracht $F_\textup{s max}$ is op dat moment te bepalen met de volgende formule:
$F_\textup{s max}=F_\textup{z}+F_\textup{mpz}$
De springer (m = 60 kg) gaat met een snelheid van 16,8 m s-1 door de evenwichtsstand E. Het touw heeft een lengte van 18 m.
b) Voer de volgende opdrachten uit:
— Bereken met behulp van de snelheid de grootte van de middelpuntzoekende kracht.
— Toon aan dat de maximale spankracht gelijk is aan $1,5\cdot10^3\textup{ N.}$
— Er geldt: $F_\textup{mpz}=\dfrac{mv^2}{r}=\dfrac{60\cdot(16,8)^2}{18}=9,4\cdot10^2\textup{ N.}$
— Er geldt: $F_\textup{s max}=F_\textup{z}+F_\textup{mpz}=mg+F_\textup{mpz}=60\cdot9,81+9,4\cdot10^2=1,5\cdot10^3\textup{ N.}$
Bergbeklimmers gebruiken speciaal touw om veilig te kunnen klimmen. Een veelgebruikt klimmerstouw heeft een diameter van 10 mm en een treksterkte van $2,4\cdot10^{8}\textup{ Nm}^{-2}\textup{.}$ Volgens de fabrikant mag het touw niet zwaarder belast worden dan 20% van de treksterkte. Lara vraagt zich af of dat touw ook sterk genoeg is voor deze schommelsprong met een maximale spankracht van $1,5\cdot10^3\textup{ N.}$
c) Toon aan of dit touw sterk genoeg is voor de schommelsprong die Lara heeft onderzocht.
De spankracht in het touw is (maximaal) $1,5\cdot10^3\textup{ N.}$
De oppervlakte van de doorsnede van het touw is
$A= \pi r^{2}= \pi (5,0\cdot 10^{-3})^{2}= 7,85\cdot 10^{-5}\, \textup{m}^{2}$
De straal is de helft van de gegeven diameter.
Voor de spanning $\sigma$ geldt: $\sigma = \dfrac{F}{A}=\dfrac{1,5\cdot10^3}{7,85\cdot10^{-5}}=1,9\cdot10^7\textup{ Nm}^{-2}\textup{.}$
De toegelaten spanning is $0,20\cdot2,4\cdot10^8=4,7\cdot10^7\textup{ Nm}^{-2}\textup{.}$
In deze berekening gebruik je dat de belasting niet hoger mag zijn dan 20% van de treksterkte. De belasting van het touw blijft in het veilige gebied, dit touw is dus sterk genoeg.
In de uiterste standen van de schommelbeweging is de snelheid nul. In figuur 3 staan vier verschillende opties voor de kracht of krachten op de springer in de uiterste stand. Voor alle krachten is het bevestigingspunt van het touw als aangrijpingspunt gebruikt. De baan waarlangs de springer beweegt, is ook weergegeven.
d) Geef aan welke optie (I, II, III of IV) de resulterende kracht het best weergeeft.
optie IV
Optie III en IV hebben allebei de krachten in beeld die een rol spelen. In optie 4 is de Fres gericht langs de baan en dus zal er een versnelling in de richting van de baan zijn. In optie 3 is de Fres meer naar binnen gericht, dit zou ervoor zorgen dat de persoon iets 'hoger' uit zou komen dan de getekende baan en dus dat het touw niet meer strak staat. Dat is onnatuurlijk en dus is optie IV het juiste antwoord.
De springer heeft een massa van 60 kg. Ze ondervindt luchtwrijving waardoor ze afgeremd wordt. De rek in het touw wordt hier verwaarloosd.
e) Bepaal met behulp van de figuur hieronder de arbeid die de luchtwrijvingskracht heeft verricht tussen het passeren van de evenwichtsstand op tijdstippen tp en tq.
Voor de arbeid die de weerstand heeft verricht geldt:
$W=\Delta E_\textup{k} = \frac{1}{2}mv^2_\textup{p}-\frac{1}{2}mv^2_\textup{q}=\frac{1}{2}\cdot60\cdot\left( \left( -12,5\right)^2 -10,0^2 \right)=1,7\cdot10^3\textup{ J.}$
