Sterren vormen soms een zogenaamd dubbelstersysteem.
In een vereenvoudigd dubbelstersysteem bewegen twee sterren in eigen cirkelbanen om een gemeenschappelijk middelpunt M.
Zie figuur 1.
Sterren P en Q hebben dezelfde omlooptijd.
a) Zet in de tabel in elke rij een kruisje in de juiste kolom.
Baanstraal ster Q is het grootst omdat ster Q het grootste rondje maakt.
De baansnelheid van ster Q is het grootst omdat ster Q een groter rondje dan ster P aflegt in dezelfde tijd. En dus een hogere snelheid in meter per seconde heeft (= baansnelheid).
| de eerste regel correct | 1 punt |
| de tweede regel consequent met de eerste regel | 1 punt |
De ster Sirius lijkt in de tijd heen en weer te bewegen. In 1844 concludeerden astronomen hieruit dat Sirius een dubbelstersysteem is, bestaande uit Sirius A en Sirius B.
Dat de twee sterren van Sirius toen niet apart van elkaar werden waargenomen, komt doordat de hoek $\alpha$ waaronder Sirius A en Sirius B vanaf de aarde gezien kunnen worden zeer klein is. Deze hoek kan worden vergeleken met de hoek waaronder koplampen van een auto gezien worden. De (gemiddelde) afstand tussen Sirius A en Sirius B is 20 keer zo groot als de afstand tussen de aarde en de zon. Sirius staat op 8,7 lichtjaar van de aarde. De afstand tussen twee koplampen is 1,5 m.
Zie figuur 2.
Sirius A en Sirius B worden onder een bepaalde hoek $\alpha$ gezien vanaf de aarde.
b) Bereken op welke afstand s van de waarnemer de auto moet staan om de koplampen onder dezelfde hoek $\alpha$ te zien.
De onderlinge afstand tussen Sirius A en B is gelijk aan $20 \cdot 1,50\cdot10^{11}=3,00\cdot10^{12}\textup{ m.}$ (omdat er gegeven is: 'De (gemiddelde) afstand tussen Sirius A en Sirius B is 20 keer zo groot als de afstand tussen de aarde en de zon.')
Je moet de afstand tussen aarde en zon opzoeken en vervolgens ook de waarde van een lichtjaar.
Sirius staat op een afstand van $8,7\cdot9,46\cdot10^{15}=8,23\cdot10^{16}\textup{ m.}$
Hieruit volgt: $\dfrac{3,00\cdot10^{12}}{8,23\cdot10^{16}}=\tan{\alpha}=\dfrac{1,5}{s_\textup{auto}}\rightarrow s_\textup{auto}=4,1\cdot10^4\textup{ m.}$ (omdat het gelijkvormige driehoeken zijn).
| opzoeken van waardes voor de afstand zon-aarde en lichtjaar | 1 punt |
| gebruik van $tan\:\alpha=\frac{overstaand}{aanliggend}$ of inzicht dat $\frac{S_{Sirius\:A-B}}{S_{Sirius-Aarde}}=\frac{S_{koplampen}}{S_{auto}}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
In 1862 werd met een verbeterde telescoop de kleinere Sirius B voor het eerst apart van Sirius A gezien. Daarna noteerden astronomen de positie van Sirius B ten opzichte van Sirius A. Sirius B beschrijft dan een baan om Sirius A met de wijzers van de klok mee. Deze baan is een ellips. Zie figuur 3.
c) Voer de volgende opdrachten uit:
— Teken in de figuur hieronder de gravitatiekracht die Sirius B op Sirius A uitoefent als een pijl met een lengte van 3 cm.
— Teken in de figuur hieronder de gravitatiekracht die Sirius A op Sirius B uitoefent.
— Leg uit of de snelheid van Sirius B ten opzichte van Sirius A in deze situatie toeneemt, afneemt of gelijk blijft.
— 
— 
— De gravitatiekracht werkt (deels) met de bewegingsrichting van Sirius B mee. De snelheid van Sirius B neemt dus toe (omdat de bewegingsrichting van Sirius B gegeven is in figuur 3.)
| in de bovenste figuur tekenen van een vector van 3 cm van Sirius A richting Sirius B | 1 punt |
| in de onderste figuur tekenen van een even lange vector van Sirius B richting Sirius A | 1 punt |
| inzicht dat de gravitatiekracht (deels) meewerkt met de bewegingsrichting van Sirius B | 1 punt |
| consequente conclusie over de snelheid | 1 punt |
Uit de waarnemingen waren diverse gegevens over Sirius A en Sirius B te bepalen. Zie figuur 4. Gegevens van sterren worden vaak uitgedrukt in vergelijking met onze zon.
Een van de eigenschappen waarmee sterren onderling vergeleken worden is de dichtheid.
d) Beredeneer met behulp van figuur 4 welke van de sterren (Sirius A of Sirius B) de grootste dichtheid heeft.
Voor de dichtheid geldt: $\rho = \dfrac{m}{V}\textup{ .}$
Voor het volume V van een bol geldt: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 \textup{ .}$
De massa m van Sirius A is in orde van grootte vergelijkbaar met de massa van Sirius B. De straal (en daarmee het volume) van Sirius A is echter veel groter dan de straal van Sirius B. De dichtheid van Sirius B is dus (veel) groter dan de dichtheid van Sirius A.
| inzicht dat $p=\frac{m}{V}$ waarbij V toeneemt met r | 1 punt |
| inzicht dat $m_{Sirius\:A}\approx m_{Sirius\:B}$ terwijl $R_{Sirius\:A}\gg R_{Sirius\:B}$ | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
Sterren zijn op basis van hun eigenschappen in te delen in categorieën. Een vereenvoudigd overzicht van vijf categorieën sterren staat in figuur 5.
e) Toon met een berekening aan in welke categorie Sirius B valt. Gebruik daarbij figuren 4 en 5.
Uit de massa volgt dat Sirius B een witte dwerg of een rode reus is.
Voor de temperatuur geldt: $\lambda_\textup{max}T=k_\textup{w}\rightarrow T = \dfrac{k_\textup{w}}{\lambda_\textup{max}}=\dfrac{2,898\cdot10^{-3}}{117\cdot10^{-9}}=2,48\cdot10^4\textup{ K.}$
Uit de temperatuur volgt dat Sirius B een blauwe reus of een witte dwerg is.
Sirius B valt in de categorie witte dwerg.
| inzicht dat de massa van Sirius B vergeleken moet worden met de massa per categorie in figuur 5 | 1 punt |
| gebruik van $\lambda _{max}T=k_{W}$ | 1 punt |
| completeren van de berekening | 1 punt |
| consequente conclusie | 1 punt |
