Roland en Arno bouwen de opstelling zoals schematisch weergegeven in figuur 1. In deze opstelling is een toongenerator verbonden met een trillingsapparaat. Aan het trillingsapparaat is een cirkelvormige metalen lus gekoppeld. Deze lus heeft een diameter van 24,5 cm.
Bij bepaalde ingestelde frequenties op de toongenerator ontstaat er een staande golf in de cirkelvormige lus. In figuur 2 is een voorbeeld van zo’n staande golf te zien.
De plek waar de lus aan het trillingsapparaat bevestigd is, mag beschouwd worden als een knoop.
Roland en Arno trekken op basis van figuur 2 de conclusie dat de golfsnelheid in de lus niet overal gelijk kan zijn.
a) Leg uit hoe dit volgt uit figuur 2 met behulp van een formule uit een tabellenboek.
In figuur 2 is te zien dat de (halve) golflengte op de lus niet overal gelijk is. De frequentie is echter constant. Omdat geldt dat v = fλ kan dit alleen verklaard worden met een golfsnelheid in de lus die niet overal gelijk is.
| inzicht dat $v=\lambda f$ met benoemen van de constante frequentie | 1 punt |
| inzicht dat de (halve) golflengte op de lus niet overal gelijk is | 1 punt |
Op het moment dat de foto van figuur 2 gemaakt werd, stond de toongenerator ingesteld op 69 Hz.
b) Bepaal de gemiddelde golfsnelheid in de lus bij deze frequentie.
In de lus zijn vijf buiken te zien. Er bevindt zich dus $\frac{5}{2}\lambda$ in de lus.
Voor het gemiddelde van de golflengte geldt dan (omtrek cirkel gecombineerd met aantal golflengtes in de cirkel):
$\lambda=\dfrac{2\pi d}{5}=\dfrac{2\pi \cdot 0,245}{5}=0,308\textup{ m.}$
Voor de gemiddelde golfsnelheid geldt dan: $v=f\lambda=69\cdot 0,308=21ms^{-1}$
| inzicht dat er zich $\frac{5}{2}\lambda $ in de lus bevindt | 1 punt |
| gebruik van $l=\pi\cdot d$ | 1 punt |
| gebruik van $v=\lambda f$ | 1 punt |
| completeren van de bepaling | 1 punt |
Roland en Arno variëren de frequentie van de toongenerator en kijken wanneer er een staande golf in de lus ontstaat. Hun waarnemingen staan in figuur 3.
Het valt Roland en Arno op dat er alleen staande golven met een oneven aantal buiken in de lus ontstaan. In het bovenste punt van de lus ontstaat dus altijd een buik.
In de lus beweegt een golf in de richting van de wijzers van de klok en een golf in de tegengestelde richting. Dit is schematisch weergegeven in figuur 4.
Deze twee lopende golven interfereren met elkaar. Op plaatsen met constructieve interferentie ontstaan buiken en op plaatsen met destructieve interferentie ontstaan knopen.
c) Voer de volgende opdrachten uit:
- Leg uit dat er in het bovenste punt van de lus alleen een buik kan ontstaan.
- Geef aan waarom er in die situatie alleen staande golven kunnen ontstaan met een oneven aantal buiken.
- Het trillingsapparaat zorgt ervoor dat er twee lopende golven ontstaan in de lus: één in de richting van de wijzers van de klok en één in de tegengestelde richting. Deze golven hebben bij het trillingsapparaat een faseverschil ten opzichte van elkaar van 0 en bereiken op hetzelfde moment het bovenste punt van de lus. (De beide golven hebben op dat moment dezelfde afstand afgelegd.) In het bovenste punt van de lus moet dus altijd sprake zijn van een faseverschil 0 en dus constructieve interferentie. Dus is er sprake van een buik.
- Omdat er een knoop zit bij het trillingsapparaat en een buik in het bovenste punt van de lus, is het alleen mogelijk om een oneven aantal knopen (of buiken) in de lus te realiseren.
| inzicht dat de beide golven tegelijkertijd (vertrekken bij het trillingsapparaat en) aankomen in het bovenste punt van de lus | 1 punt |
| inzicht dat de golven in het bovenste punt van de lus (nog steeds) faseverschil 0 hebben | 1 punt |
| benoemen dat met bovenin een buik en onderin een knoop het aantal buiken altijd oneven moet zijn | 1 punt |
Roland en Arno gaan op zoek naar het verband tussen de frequentie van het trillingsapparaat en het aantal buiken dat in de lus ontstaat. Uit de meetresultaten in figuur 3 trekken ze de conclusie dat er onmogelijk sprake kan zijn van een recht evenredig verband.
d) Toon met een berekening aan dat die conclusie juist is.
De metingen 1 en 4 kunnen met elkaar vergeleken worden. Het aantal buiken in meting 4 is een factor 3 groter dan het aantal buiken in meting 1. De frequentie is niet een factor 3 groter (en dus is er geen recht evenredig verband).
| inzicht in de voorwaarden voor een recht evenredig verband | 1 punt |
| inzicht dat de verhouding van twee verschillende frequenties vergeleken moet worden met de verhouding van de twee bijbehorende aantallen buiken | 1 punt |
| completeren van de berekeningen | 1 punt |
Via een trial-and-errormethode komen Roland en Arno tot het volgende verband tussen de frequentie en het aantal buiken in de lus:
$f = cn^2 \hspace{2cm}(1)$
Hierin is:
- f de frequentie in Hz
- c een constante
- n het aantal buiken in de lus
In de grafiek van figuur 5 staan de meetresultaten uit figuur 3 grafisch weergegeven na een coördinatentransformatie. Het bijschrift bij beide assen is nog niet gegeven.
e) Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef het bijschrift dat vermeld moet worden bij de horizontale as.
- Geef het bijschrift dat vermeld moet worden bij de verticale as.
- Bepaal met behulp van figuur 5 de constante c in formule (1). Geef je antwoord in drie significante cijfers en met de juiste eenheid.
- Op de horizontale as staat: n2 (-).
- Op de verticale as staat: f (Hz).
- De waarde voor de constante c in de formule volgt uit de helling van de trendlijn. Dus:
$c=\dfrac{350}{110}= 3,18\textup{ s}^{-1}\textup{ .}$
| inzicht dat n2 staat uitgezet op de horizontale as van de grafiek | 1 punt |
| inzicht dat f in Hz staat uitgezet op de verticale as van de grafiek | 1 punt |
| inzicht dat c gelijk is aan de helling van de trendlijn | 1 punt |
| consequent bepalen van de eenheid | 1 punt |
| completeren van de bepaling | 1 punt |
Roland en Arno vragen zich af of de constante c wel in drie significante cijfers mag worden opgegeven. Roland denkt dat de waarde moet worden opgegeven in één significant cijfer omdat het aantal buiken ook in één significant cijfer is opgegeven. Arno denkt dat met de gebruikte methode de waarde in drie significante cijfers kan worden opgegeven, hoewel de frequenties in twee significante cijfers zijn bepaald.
f) Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef aan waarom Roland geen gelijk heeft.
- Leg uit dat de gedachte van Arno verdedigbaar is.
- Het aantal buiken is een telwaarde. Deze waarde heeft geen invloed op het aantal significante cijfers. (Roland heeft dus geen gelijk.)
- De constante c wordt bepaald uit meerdere meetwaardes die (na een coördinatentransfomatie) liggen op een rechte trendlijn. Dit vergroot de nauwkeurigheid van de bepaling. (Daarom is de gedachte van Arno verdedigbaar om een significant cijfer meer te gebruiken.)
| benoemen dat de telwaarde geen invloed heeft op het aantal significante cijfers | 1 punt |
| inzicht dat de constante bepaald wordt uit meerdere meetwaardes | 1 punt |
| inzicht dat de meetwaarden op een rechte lijn liggen (na coördinatentransformatie) | 1 punt |
