Planck (VWO examen, 2021-1, opg 1)

Onderwerp: Astrofysica, Sterrenkunde

Examenopgave VWO, natuurkunde, 2021 tijdvak 1, opgave 1: Planck

Kosmische achtergrondstraling is de straling die in het jonge heelal als warmtestraling ontstond. De meest gedetailleerde kaart van de kosmische achtergrondstraling laat intensiteitsverschillen van slechts 0,001% zien (zie figuur 1). De beelden konden verzameld worden dankzij de Planck-satelliet van de Europese ruimtevaartorganisatie ESA. De kosmische achtergrondstraling wordt nu waargenomen als microgolfstraling.

figuur 1
Figuur 1:

De opnamen voor de kaart van figuur 1 kunnen vanwege de aardatmosfeer niet vanaf het aardoppervlak gemaakt zijn.

a) Geef hiervoor een reden.

Er zijn verschillende antwoorden mogelijk:

- De aardatmosfeer laat niet alle straling uit het microgolfgebied door.
of
- De condities van de aardatmosfeer verschillen in de tijd.
of
- In de atmosfeer is te veel microgolfstraling uit de omgeving aanwezig.

De Planck-satelliet draait rondjes om de zon. Hij heeft zijn metingen verricht vanuit een speciaal punt in de ruimte: het Lagrangepunt L2. Het Lagrangepunt L2 ligt in het verlengde van de verbindingslijn van de zon naar de aarde en in dit punt is de omlooptijd van de satelliet gelijk aan die van de aarde. Zie figuur 2.

figuur 2.
Figuur 2:

Thijs voert een modelstudie uit om te bepalen op welke afstand van de aarde het Lagrangepunt L2 zich bevindt. In zijn model is de x-as de verbindingslijn van de zon naar de aarde. Thijs beperkt zich in zijn onderzoek tot het gebied op de x-as waarvoor geldt dat de afstand |x| tot het middelpunt van de aarde kleiner is dan $2,0\cdot10^9\textup{ m}$ en groter dan of gelijk aan de straal van de aarde. Zie figuur 3. Deze figuur is niet op schaal. In zijn model definieert Thijs de richting naar rechts in de figuur als positief. Hoewel het Lagrangepunt L2 rechts van de aarde ligt, bekijkt Thijs dus ook wat er gebeurt bij negatieve waarden van x.

Figuur 3:
Figuur 3:

Thijs berekent met zijn model hoe de gravitatieversnelling ten gevolge van de zon, ag, zon , en die ten gevolge van de aarde, ag, aarde , afhangen van x (zie figuur 4).

Figuur 4:
Figuur 4:

Thijs heeft ervoor gezorgd dat zijn model zo goed mogelijk aan de werkelijkheid voldoet.

b) Beantwoord de volgende twee vragen:
- Bij welke |x| wordt de waarde van ag, aarde maximaal in het model?
- Geef de grootte van deze maximale waarde van ag, aarde.

De maximale waarde wordt bereikt bij |x|=raarde.
Het antwoord is niet "0" omdat in de tekst vermeld wordt: "Thijs beperkt zich in zijn onderzoek tot het gebied op de x-as waarvoor geldt dat de afstand |x| tot het middelpunt van de aarde kleiner is dan  $2,0\cdot10^9$ en groter dan of gelijk aan de straal van de aarde."

De maximale waarde van ag, aarde is 9,8 ms-2.
Omdat FG = Fz op het oppervlak van de aarde. En de versnelling op het oppervlak is de 9,81 ms-2 die we kennen van Fz=mg.

Van de modelwaarden van ag, zon en ag, aarde zijn in figuur 4 alleen de grafieklijnen bij negatieve waarden van x weergegeven. In figuur 5 zijn vier mogelijkheden gegeven van hoe de gehele grafiek, tot $x = 2,0\cdot10^9\textup{ m}$ , kan lopen.

c) Leg uit welke van de vier grafieken (I, II, III of IV) de situatie juist weergeeft.

De gravitatieversnelling ten gevolge van de zon, ag, zon , wordt niet beïnvloed door de aanwezigheid van de aarde. De grafieklijn loopt vrijwel rechtdoor. De gravitatieversnelling ten gevolge van de aarde, ag, aarde , verandert van richting bij positieve waarden van x en wordt dus negatief. Omdat de gravitatieversnelling gericht is naar de aarde en bij negatieve x wijst deze dus naar rechts (richting de aarde). Bij positieve x wijst deze nog steeds richting de aarde, maar de aarde is nu links. Dus is de richting (het "+"/"-"-teken) omgedraaid.

Het juiste antwoord is grafiek IV.

Figuur 5:
Figuur 5:

Als een voorwerp een cirkelbeweging om een hemellichaam beschrijft, geldt de volgende formule:

$T= 2\pi\sqrt{\dfrac{r}{a}} \hspace{2cm} (1)$

Hierin is:

  • T de omlooptijd om het hemellichaam in s
  • r de baanstraal in m
  • a de grootte van de gravitatieversnelling ten gevolge van het hemellichaam in ms-2
d) Leid formule (1) af gebruikmakend van formules uit een tabellenboek.

$\textup{Er geldt: }F_\textup{g, hemellichaam} = F_\textup{mpz} \textup{ met } F_\textup{mpz} = \dfrac{mv^2}{r} \textup{ en } F_\textup{g, hemellichaam} = m a \textup{ .}$

$\textup{Voor de omloopsnelheid geldt: } v = \dfrac{2\pi r}{T} \textup{ .}$

$\textup{Invullen geeft: }F_\textup{g, hemellichaam} = \dfrac{4\pi^2mr}{T^2}\textup{, en dus: } a=\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}\textup{ .}$

$\textup{Omschrijven geeft: }T=2\pi\sqrt{\dfrac{r}{a}}\textup{ .}$

De Planck-satelliet in het Lagrangepunt L2 ondervindt zowel een gravitatiekracht van de zon als een gravitatiekracht van de aarde. Als gevolg daarvan luidt de formule voor de omlooptijd van de satelliet als volgt:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r}{a_\textup{g,res}}}\hspace{2cm}(2)$

Hierin is:

  • T de omlooptijd om de zon in s
  • r de baanstraal in m
  • ag, res de grootte van de gravitatieversnelling ten gevolge van de resulterende gravitatiekracht in ms-2

De baanstraal van de Planck-satelliet in het Lagrangepunt L2 is groter dan de baanstraal van de aarde. Toch is de omlooptijd T van de Planck-satelliet gelijk aan die van de aarde.

e) Leg dat uit met behulp van formule (2).

Als T gelijk moet zijn bij een grotere waarde van r, dan zal ook ag, res groter moeten zijn. Bij waarden van r groter dan de baanstraal van de aarde zijn ag, zon en ag, aarde gelijk gericht. De grootte van de resulterende versnelling zal dus groter zijn dan de grootte van ag, zon.

Om te bepalen op welke afstand van de aarde het Lagrangepunt L2 zich bevindt, berekent Thijs met zijn model bij verschillende waarden van x de omlooptijd T om de zon van een voorwerp dat zich bevindt op de verbindingslijn van de zon naar de aarde. Hij beperkt zich tot alleen de positieve waarden van x. Zijn resultaten zijn weergegeven in figuur 6.

Figuur 6:
Figuur 6:

Tzon is de berekende omlooptijd als alleen de zon aanwezig zou zijn.
Tzon + aarde is de berekende omlooptijd als er rekening wordt gehouden met de aanwezigheid van zowel de zon als de aarde.

f) Bepaal met behulp van de figuur 6 de afstand van het Lagrangepunt L2 tot het midden van de aarde.

De omlooptijd van de aarde om de zon is te bepalen door de grafieklijn Tzon af te lezen bij x = 0 (T = 3,16·107 s = een jaar). De omlooptijd in het Lagrangepunt L2 is gelijk aan de omlooptijd van de aarde. In het Lagrangepunt L2 wordt de omlooptijd bepaald door het gravitatieveld van aarde plus zon. Op x = 1,5·109 m is de omlooptijd van een satelliet gelijk aan die van de aarde.

De Planck-satelliet verrichtte metingen vanuit het Lagrangepunt L2. In figuur 7 staat de stralingskromme van de kosmische achtergrondstraling die de satelliet heeft gemeten.

Figuur 7:
Figuur 7:

De temperatuur van de kosmische achtergrondstraling is gedefinieerd als de temperatuur van een voorwerp met de stralingskromme van figuur 7.

g) Bepaal de temperatuur van de kosmische achtergrondstraling.

Het maximum van de grafiek ligt bij: λmax = 1,05 mm.
Met de wet van Wien, λmaxT = kW , is de bijbehorende temperatuur uit te rekenen.

$\textup{Dit geeft: }T=\dfrac{k_\textup{W}}{\lambda_\textup{max}}=\dfrac{2,898\cdot10^{-3}}{1,05\cdot10^{-3}}=2,76\textup{ K.}$