In 2016 sprong skydiver Luke Aikins zonder parachute vanaf een hoogte van bijna 8 km recht naar beneden. Boven de grond was een groot net opgespannen om hem veilig op te vangen. Zie figuur 1 en 2.
Aikins ondervond een luchtweerstandskracht. Hiervoor geldt:
$F_\textup{W}=kAv^2$
Hierin is:
- k een constante;
- A de frontale oppervlakte van Aikins;
- v de snelheid ten opzichte van de lucht.
a) Leid de eenheid van k af in (grond)eenheden van het SI zoals vermeld in Binas-tabel 3a of Sciencedata-tabel 1.3a.
$[k]=\dfrac{[F_\textup{W}]}{[A][v^2]}=\dfrac{\textup{N}}{\textup{m}^2(\textup{ms}^{-1})^2}=\dfrac{\textup{Ns}^2}{\textup{m}^4}=\dfrac{\textup{kg}}{\textup{m}^3}$
Dankzij de luchtweerstandskracht bereikte hij na verloop van tijd een constante snelheid van 54 ms-1. Zijn massa is 75 kg en zijn frontale oppervlakte is 0,80 m2.
b) Bereken de waarde van k.
Er geldt bij de constante snelheid:
$F_\textup{W}=(-)F_\textup{Z}.$
Hieruit volgt:
$k=\dfrac{mg}{Av^2}=\dfrac{75\cdot9,81}{0,80\cdot54^2}=0,32 \textup{ (kg m}^{-3}\textup{)}$
Tijdens de laatste 1,0 kilometer op weg naar het net was Aikins’ valsnelheid 54 ms-1. Ook was er zijwind die hem een constante horizontale snelheid zou geven van 4,9 kmh-1. Aikins moest tijdens zijn val daarom bijsturen op weg naar het net.
c) Voer de volgende opdrachten uit:
- Bereken de valtijd waarin Aikins de 1,0 kilometer naar het net aflegde.
- Bereken hoe ver Aikins zou afwijken van de koers als hij niet zou bijsturen.
De valtijd:
$t=\dfrac{h}{v_\textup{v}}=\dfrac{1,0\cdot10^3}{54}=19\textup{ s.}$
De afwijking zonder bijsturen:
$s=v_\textup{h}t_\textup{h}=\left(\dfrac{4,9}{3,6} \right )\cdot19=25\textup{ m.}$
Hierbij is de horizontale snelheid die in km per uur was gegeven omgerekend naar meter per seconde.
Een landing op de buik is gevaarlijk. Aikins moest daarom vlak voor de landing draaien. Dat deed hij door een van zijn handen dichter bij zijn lichaam te houden. In figuren 3 en 4 is dat weergegeven. Aikins wordt hierbij als stilstaand beschouwd, terwijl de bewegende lucht weerstandskracht op zijn beide handen uitoefent. Andere krachten worden niet meegenomen.
d) Voer de volgende opdrachten uit:
-Teken in beide figuren de luchtweerstandskrachten op de handen. Teken alle krachten in de juiste onderlinge verhouding.
-Teken in beide figuren de armen die horen bij deze krachten.
-Omcirkel in iedere zin het goede antwoord.
Doordat Aikins één hand naar zich toe buigt, wordt het moment van de luchtweerstandskracht op die hand groter / kleiner.
Aikins begint hierdoor te draaien in de richting van P / Q.
Er zijn 3 punten te verdienen met deze tekening.
Het eerste punt verdien je als alle 4 de krachtvectoren vanuit de handen recht naar boven gericht zijn.
Het tweede punt verdien je als alle krachtvectoren even lang zijn.
Het derde punt verdien je als de arm van de kracht getekend is als de korste afstand (loodrecht) tussen punt D en de werklijn van de kracht.
Het laatste punt van deze 4-puntsvraag verdien je als je beide correcte woorden hebt omcirkeld. De correcte antwoorden zijn:
Doordat Aikins één hand naar zich toe buigt, wordt het moment van de luchtweerstandskracht op die hand kleiner.
Aikins begint hierdoor te draaien in de richting van Q.
Van de landing in het net is een videometing gemaakt. Zie figuur 5.
Het net remde Aikins af van 54 ms-1 tot stilstand. Tijdens het afremmen legde Aikins nog 37 m naar beneden af. Verwaarloos de arbeid door de luchtwrijvingskracht tijdens het remmen.
e) Bereken de energie die het net geabsorbeerd heeft.
Er geldt:
$E_{net}= E_{k}+E_{z}$
$E_\textup{net}=\frac{1}{2}mv^2+mgh$
$E_\textup{net}=\frac{1}{2}\cdot 75\cdot54^2+75\cdot9,81\cdot37$
$E_\textup{net}=1,4\cdot10^5\textup{ J}$
Het net moest aan diverse eisen voldoen om Aikins veilig tot stilstand te brengen. Hieronder staat een tabel met technische ontwerpoplossingen voor het net en natuurkundige concepten die daarbij een rol spelen.
f) Omcirkel bij elke ontwerpoplossing het beste bijbehorende natuurkundige concept.
Hieronder staat het (v,t)-diagram van het laatste deel van de stunt van Aikins: het afremmen in het net. Ook staat hieronder een tweede diagram. In dit tweede diagram is af te lezen gedurende hoeveel tijd een mens een bepaalde vertraging veilig kan ondergaan voordat deze vertraging schadelijk wordt.
g) Voer de volgende opdrachten uit met behulp van de grafieken hierboven:
- Bepaal de grootte en de tijdsduur van de maximale vertraging die Aikins onderging.
- Toon aan of deze maximale vertraging veilig was voor Aikins.
deel 1 van de vraag:
Trek een raaklijn langs het steilste deel van de (v,t)-grafiek helemaal van boven tot onder in de grafiek. Met behulp van de raaklijn in het steilste deel van de (v,t)-grafiek kan de grootte en de duur van de vertraging bepaald worden. (Het steilste deel van de de (v,t)-grafiek betekent maximale vertraging.) Hiervoor geldt:
$a=\left(\dfrac{\Delta v}{\Delta t} \right )_\textup{raaklijn}=\dfrac{60,0}{88,60-87,50}=54,5\textup{ ms}^{-2}.$
Dit antwoord heeft een bepalingsmarge van 2 ms-2.
De tijdsduur van deze vertraging is
$88,44-87,72=0,72 \textup{ s.}$
Dit antwoord heeft een bepalingsmarge van 0,05 s.
tweede deel van de vraag:
In het tweede diagram is te zien dat de maximale veilige vertraging bij 0,72 s gelijk is aan 93 ms−2 of dat de maximale vertraging van 54,5 ms-2 veel langer mag duren dan 0,72 s. Het afremmen van Aikins was dus veilig voor hem.
