De planeet Jupiter heeft meerdere manen. Zie figuur 1. Deze figuur is niet op schaal. Een van deze manen heet Europa. Gegevens over de maan Europa zijn te vinden in Binas-tabel 31 of Sciencedata-tabel 3.3a.
De straal van de baan van Europa is 670,9 106 m.
a) Bereken de baansnelheid van Europa rond Jupiter.
De omlooptijd van Europa is
$3,551 \cdot 24 \cdot 3600 = 3,0681 \cdot 10^5 \textup{ s}$
(In Binas-tabel 31 of Sciencedata-tabel 3.3a vind je 3,551 dag voor omlooptijd van Europa).
Er geldt:
$v = \dfrac{2 \pi r}{T} = \dfrac{2 \pi \cdot 670,9 \cdot 10^6}{3,0681 \cdot 10^5} = 1,374 \cdot 10^4 \textup{ ms}^{-1}$
De oppervlaktetemperatuur van Europa is 173 K. Dit is bepaald door λmax te meten van het infraroodspectrum dat deze maan uitzendt.
b) Bereken de frequentie die hoort bij deze λmax.
Er geldt:
$\lambda_{\textup{max}}T=k_{\textup{W}} \rightarrow \lambda_{\textup{max}} = \dfrac{2,898\cdot 10^{-3}}{173}=1,675\cdot10^{-5}\textup{ m.}$
Dus:
$f = \frac{c}{\lambda} = \dfrac{2,998\cdot10^8}{1,675\cdot10^{-5}}=1,79\cdot10^{13}\textup{ Hz.}$
Sommige wetenschappers denken dat de temperatuur onder het oppervlak van Europa veel hoger is dan 173 K. Hun verklaring hiervoor is de voortdurende verandering van de gravitatiekracht op de maan Europa. In figuur 2 zijn Jupiter en Europa getekend. Deze figuur is niet op schaal. Op de maan Europa zijn twee punten gemarkeerd met ‘a’ en ‘b’.
De gravitatiekracht die Jupiter op Europa uitoefent is in punt a niet even groot als in punt b. Hierdoor wordt Europa een beetje vervormd. Dit is schematisch weergegeven in figuur 3.
c) Beredeneer met behulp van de formule voor de gravitatiekracht welke figuur (I of II) de vervorming van Europa het best weergeeft.
Voor de gravitatiekracht geldt:
$F_{\textup{g}}=G\dfrac{Mm}{r^2}.$
De gravitatiekracht op een massa m wordt dus kleiner als de afstand r tot Jupiter groter wordt. (Europa wordt dus harder aangetrokken in punt a dan in punt b.) Dit komt het best overeen met figuur II.
Behalve Jupiter oefenen ook de manen Ganymedes en Io een (kleine) gravitatiekracht uit op Europa. Omdat deze drie manen ten opzichte van elkaar in beweging zijn, veranderen deze gravitatiekrachten steeds. De wetenschappers denken dat de maan Europa zo ‘gekneed’ wordt. Hierbij zou dan warmte ontstaan waardoor de temperatuur in het inwendige van Europa kan stijgen.
In figuur 4 is de stand van de drie manen op een bepaald moment t = 0 weergegeven. Neem aan dat Jupiter stilstaat en dat de drie manen in een cirkelbaan in de aangegeven richting bewegen. Op t = 3,55 d heeft de maan Io 2,0 omwentelingen om Jupiter gemaakt en is de stand zoals in figuur 5. Figuur 4 en 5 zijn niet op schaal.
Vergelijk de resulterende kracht op (het zwaartepunt van) Europa in figuur 5 met die in figuur 4.
d) Welke uitspraak is waar?
A - De resulterende kracht op Europa in figuur 5 is kleiner dan die in figuur 4.
B - De resulterende kracht op Europa in figuur 5 is even groot als die in figuur 4.
C - De resulterende kracht op Europa in figuur 5 is groter dan die in figuur 4.
A
Om de resulterende kracht te bepalen moet je alle krachten bij elkaar optellen, maar je moet wel om de richting denken. Dat betekent in figuur 4 dat de gravitatiekrachten van Io, Ganymedes en Jupiter allemaal dezelfde kant op trekken. Terwijl in figuur 5 Ganymedes juist de andere kant op trekt.
De omlooptijden van de manen van Jupiter hebben een vaste verhouding tot elkaar. Er geldt:
$T_{\textup{Io}} : T_{\textup{Europa}} : T_{\textup{Ganymedes}} = 1 : 2 : 4$
e) Teken in de derde figuur de stand van de manen op t = 5,32 d. Leg je antwoord uit met behulp van een berekening.
De omlooptijd van Io is
$\frac{3,55}{2,0} = 1,78 \textup{ d.}$
Hieruit volgt voor Europa een omlooptijd van
$2\cdot1,78=3,55 \textup{ d}$
en voor Ganymedes
$4\cdot1,78=7,10 \textup{ d.}$
Voor het aantal omwentelingen op t = 5,32 d geldt dan voor Io
$\frac{5,32}{1,78}=3,0; \textup{ voor Europa } \frac{5,32}{3,55} = 1,5 \textup{ en voor Ganymedes } \frac{5,32}{7,10}=0,75.$
Tegen de klok in draaiend levert dat:
