Richard wil de verwarmingsbuizen in zijn huis gaan isoleren. Hij maakt een testopstelling om te meten hoe groot het effect van buisisolatie kan zijn. Hij vult een stuk koperen verwarmingsbuis met water. In het water hangt hij twee weerstanden om het water te verwarmen. Deze zijn aangesloten op een regelbare spanningsbron. Hij sluit de buis af met een kurk met een thermometer. Zie figuur 1.
Richard gebruikt twee parallel geschakelde weerstanden. Iedere weerstand heeft een opschrift: “27 Ω, max. 20 W”.
Voor het door een weerstand opgenomen vermogen geldt:
$P=\frac{U^2 }{R}$
Opgaven
a) Voer de volgende opdrachten uit:
- Leid deze formule af met behulp van formules uit het tabellenboek.
- Bereken de spanning die nodig is om de weerstanden te laten werken op het maximale vermogen volgens de opschriften.
- Voor het vermogen van een elektrisch apparaat geldt: P = UI. In de uitdrukking die je moet afleiden komt de stroomsterkte I niet voor. De stroomsterkte kan je uitrekenen met I = U / R. Wanneer je dit invult in de formule voor het vermogen, vind je:
$P=UI=U\cdot \frac{U}{R} = \frac{U^2}{R}$ - Het vermogen en de weerstand zijn gegeven. Invullen geeft dan:
$P=\frac{U^2}{R}\rightarrow U^2=PR\rightarrow U=\sqrt{PR}=\sqrt{27\cdot 20}=23~\mathrm{V}$
De buis bevat 26 g water van 18 °C. Het water in de verwarmingsbuizen in huis is 75 °C. Veronderstel dat er geen energieverlies is.
b) Bereken de tijd die minimaal nodig is om het water in de proefopstelling te verwarmen tot 75 °C wanneer de twee weerstanden werken op het maximale vermogen volgens de opschriften.
De weerstanden werken op het maximale vermogen. Ze leveren dus beide een vermogen van 20 W, oftewel 40 W in totaal. Elke seconde wordt er 40 J warmte toegevoegd.
Om te weten te komen hoeveel tijd er dan minimaal nodig is, moet je weten hoeveel warmte er in totaal toegevoegd moet worden. Dit volgt uit:
$Q=cm\Delta T = 4,18\cdot 10^3 \cdot 26\cdot 10^{-3}\cdot (75-18)=6,19\cdot 10^3~\mathrm{J}$
De tijd die nodig is, is dan:
$Q=Pt\rightarrow t=\frac{Q}{P}=\frac{6,19\cdot 10^3}{40}=1,5\cdot 10^2~\mathrm{s}$
De thermometer zit bovenin de buis. Alleen boven de weerstanden is er sprake van warmtetransport door stroming. Richard heeft de weerstanden niet helemaal onderin de buis geplaatst. Zie figuur 2.
c) Geef een natuurkundige reden waarom de thermometer al eerder een temperatuur van 75°C aangeeft.
Aangezien Richard de weerstanden niet helemaal onderin de buis heeft geplaatst, wordt het water onder de weerstanden niet opgewarmt. Aangezien er minder water verwarmt moet worden, zal dit ook sneller gaan. Hierdoor geeft de thermometer al eerder een temperatuur van 75°C aan.
In werkelijkheid is er wel energieverlies. Richard stelt de spanning zo in dat de eindtemperatuur van 75 °C precies wordt behaald en zet zijn metingen vervolgens uit in een diagram. Zie figuur 3.
In de grafiek zijn drie tijdstippen t1, t2 en t3 aangegeven. Aan de buis wordt een constant elektrisch vermogen Pelektrisch toegevoerd. In figuur 4 staat een tabel. Het energieverlies per seconde aan de omgeving wordt Pverlies genoemd.
d) Geef in de tabel van figuur 4 voor ieder tijdstip t1, t2 en t3 met een kruisje aan of Pelektrisch groter is dan, even groot is als of kleiner is dan Pverlies.
In figuur 3 zie je dat op tijdstippen t1 en t2 de temperatuur nog aan het stijgen is. Er moet daar dus meer warmte toegevoegd worden, dan dat er verloren gaat. Hier geldt dus: Pelektrisch > Pverlies.
Op tijdstip t3 blijft de temperatuur constant. Er wordt daar evenveel warmte toegevoegd als dat er verloren gaat. Hier geldt dus: Pelektrisch = Pverlies.
Richard constateert dat de verwarmingsbuizen in zijn huis niet van koper maar van ijzer zijn. Hij vraagt zich af of dit verschil maakt voor het warmteverlies bij gelijk temperatuurverschil.
Voor de warmtestroom door de wand van een buis geldt:
$P=\lambda A\frac{\Delta T}{d}$
e) Leg met behulp van de formule uit of de warmtestroom bij een koperen buis groter is dan, kleiner is dan of gelijk is aan de warmtestroom bij een identiek gevormde ijzeren buis.
In een tabellenboek kan je de warmtegeleidingscoëfficiënt λ van koper en ijzer vinden. De waarde voor koper is veel groter dan de waarde voor ijzer. Aangezien alle andere variabalen hetzelfde zijn, zal de warmtestroom bij de koperen buis groter zijn.
Richard isoleert de dunne wand van de buis met een isolatielaag. Zie figuur 5.
In figuur 6 staat een overzicht van de technische gegevens van de isolatielaag.
Zonder isolatie is het energieverlies per seconde (Pverlies) gelijk aan 27 W. De isolatie zorgt voor een kleiner energieverlies per seconde. Het temperatuurverschil over de isolatie is 57 ºC. Het temperatuurverschil over de buis is verwaarloosbaar. Richard bepaalt dat de oppervlakte van de isolatie 4,9 · 10−2 m2 is.
f) Bereken de factor waarmee Pverlies verkleind wordt door het gebruik van de buisisolatie.
Zonder isolatie is het warmteverlies Pverlies 27 W.
We moeten uitrekenen met welke factor deze verkleind wordt. Laten we dan eerst uitrekenen wat de warmtestroom door de geïsoleerde buis is (let hierbij op: de isolatiedikte moet in meters!):
$P=\lambda A \frac{\Delta T}{d} = 0,038\cdot 4,9\cdot 10^{-2}\cdot \frac{57}{13\cdot 10^{-3}}=8,2~\mathrm{W}$
Dit is 27 / 8,2 = 3,3 keer zo klein.
