Op 8 oktober 2018 stond op nu.nl dat de Amerikaanse ruimtesonde Voyager-2 op het punt staat ons zonnestelsel te verlaten. Op 10 december 2018 heeft de Nasa bekend gemaakt dat de sonde ons zonnestelsel inderdaad verlaten heeft.
De ruimtesonde werd in augustus 1977 gelanceerd en heeft sindsdien 41 jaar onafgebroken gevlogen. Volgens het artikel bevindt de sonde zich op een afstand van 18 miljard kilometer ten opzichte van de Aarde. Ten opzichte van deze afstand is de afstand tussen de Aarde en de Zon verwaarloosbaar. De afstand van de sonde tot de Zon is dus ook ongeveer 18 miljard kilometer.
a) Laat zien dat de afstand tussen de Aarde en de Zon verwaarloosbaar is ten opzichte van de afstand die de sonde afgelegd heeft.
De afstand tussen de Aarde en de sonde is 18 miljard kilometer oftewel 18 . 109 km. De afstand tussen de Aarde en de Zon is 1,496 . 108 = 0,1496 . 109 km. Binnen de gegeven significantie (2 significante cijfers) valt dit inderdaad te verwaarlozen.
b) Bereken de gemiddelde snelheid die de ruimtesonde tot nu heeft gehad.
De sonde heeft in 41 jaar 18 miljard kilometer afgelegd. De gemiddelde snelheid is dan gelijk aan:
$v_{\mathrm{gem}} = \frac{s}{t}=\frac{18\cdot 10^9}{41\cdot 365\cdot 24}=50117=5,0\cdot 10^4~\mathrm{kmh}^{-1}$
Dit is gelijk aan 1,4 . 104 ms-1.
Als de snelheid van de sonde groot genoeg is, zal hij uiteindelijk kunnen ontsnappen aan de aantrekkingskracht van de Zon. De sonde ondervindt dan nog wel een aantrekkingskracht, maar deze kracht is onvoldoende om de sonde in een baan om te zon te houden.
De minimale snelheid waarbij dit gebeurt wordt gegeven door:
$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$
Hierin is:
- v de snelheid in m/s;
- G de gravitatieconstante;
- M de massa van de Zon in kg;
- r de afstand tussen de sonde en de Zon in m.
c) Leid deze formule af met behulp van energiebehoud en formules uit een tabellenboek.
Met energiebehoud:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ E_{\mathrm{begin}} &= E_{\mathrm{eind}} \\ E_{k,b} + E_{g,b} &= 0 \\ \frac{1}{2}mv^2 - G\cdot \left(\frac{mM}{r} \right ) &= 0 \\ \frac{1}{2}v^2 &= \frac{GM}{r}\rightarrow v &= \sqrt{\frac{2GM}{r}}\end{aligned}}$
De huidige snelheid van de sonde is 15,3 kms-1.
d) Controleer met een berekening of deze snelheid voldoende is om te ontsnappen aan de invloed van de Zon.
De snelheid die de sonde op deze afstand van de zon moet hebben om te kunnen ontsnappen aan de invloed van de Zon is gelijk aan:
$v=\sqrt{\frac{2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 1,989\cdot 10^{30}}{18\cdot 10^{12}}}=3,8\cdot 10^3~\mathrm{ms}^{-1}$
Dit is ruim minder dan de huidige snelheid van de sonde en dus voldoende om te ontsnappen aan de invloed van de Zon.
Volgens het artikel komt de sonde over veertigduizend jaar voor het eerst in de buurt van een andere ster dan de Zon. De sonde passeert de ster Ross 248 dan op een afstand van 1,7 lichtjaar. De afstand van de Aarde tot deze ster is 10,3 lichtjaar.
e) Toon aan dat de sonde deze afstand niet kan overbruggen in veertigduizend jaar.
Een lichtjaar komt overeen met:
$s=ct=3,0\cdot 10^8\cdot 365\cdot 24\cdot 3600 = 9,46\cdot 10^{15}~\mathrm{m}$
De afstand tussen de Zon en de sonde is op dit moment 18 miljard kilometer. Dit is ongeveer 0,002 lichtjaar.
In veertigduizend jaar legt de sonde een afstand af van hooguit:
$s=v\cdot t = 15,3\cdot 10^3\cdot 40000\cdot 365\cdot 24\cdot 3600 = 1,93\cdot 10^{16}~\mathrm{m}=2,0~\mathrm{lichtjaar}$
De genoemde afstand tot Ross 248 kan dus lang niet overbrugd worden in veertigduizend jaar.
Ross 248 blijkt naar ons toe te bewegen. De snelheid waarmee een ster van ons af of naar ons toe beweegt noemen we de radiale snelheid van de ster. Deze kan bepaald worden door het spectrum van de ster te analyseren. In figuur 2a zie je het emissiespectrum van waterstof wanneer dit op aarde gemeten wordt. In figuur 2b en 2c zie je emissiespectra van waterstof die ten gevolge van het dopplereffect verschoven zijn.
f) Leg uit welke emissiespectrum (2b of 2c) in principe overeen kan komen met het spectrum van Ross 248.
Ross 248 beweegt naar ons toe. Het dopplereffect resulteert dan in kleinere golflengtes. Er is dus sprake van blauwverschuiving. Dit is het geval bij het spectrum uit figuur 2b.
Ross 248 beweegt met een snelheid van 75,2 kms-1 naar ons toe.
g) Leg uit of het mogelijk is dat de sonde over veertigduizend jaar de ster Ross 248 passeert op een afstand van 1,7 lichtjaar.
De afstand die Ross 248 aflegt in veertigduizend jaar is gelijk aan:
$s=vt=75,2\cdot 10^3\cdot 40000\cdot 365\cdot 24\cdot 3600 = 9,486\cdot 10^{16}~\mathrm{m}=10~\mathrm{lichtjaar}$
De ster is 10 lichtjaar dichterbij gekomen. Tegelijk heeft de sonde een afstand van 2,0 lichtjaar afgelegd. De afstand tussen de sonde en Ross 248 over 40000 jaar is afhankelijk van de exacte richting waarin beide bewegen. Het is goed mogelijk dat deze afstand tegen die tijd gelijk is aan 1,7 lichtjaar.
