Om de stroomsnelheid van rivieren te beperken en scheepvaart mogelijk te maken zijn er in rivieren zogenaamde stuwen opgenomen. Op 29 december 2016 voer een schip met een massa van 2500 ton dwars door een stuw in de rivier de Maas. De schade was enorm. Om dergelijke ongelukken in de toekomst te voorkomen heeft een ingenieur een enorm vangnet bedacht om schepen tot stilstand te kunnen brengen. Het net hangt deels onder water. Zodra een schip in het net vaart, begint het ankers over de bodem van de rivier mee te slepen. Eerst twee kleine ankers en vervolgens twee grote ankers. Een schip van 2500 ton met een snelheid van 20 km h-1 moet op deze manier in 200 meter tot stilstand gebracht kunnen worden.
Tijdens het afremmen moet het net een (gemiddelde) kracht uitoefenen van 1,9 ∙ 105 N.
a) Toon dat met behulp van de arbeid aan.
Uit energiebehoud volgt:
$\frac{1}{2}mv^2 = Fs\rightarrow \frac{1}{2}\cdot 2,6\cdot 10^6\cdot \left(\frac{20}{3,6} \right )^2=F\cdot 200\rightarrow F=1,9\cdot 10^5~\mathrm{N}$
Het net is met een kabel vastgemaakt aan de ankers. Zie figuur 1. Deze figuur is op schaal.
Als een schip het net raakt, blijven de grote ankers op de plek liggen en worden eerst de kleine ankers in de richting van de pijl getrokken. Zie figuur 2. Op deze manier kunnen kleine, lichte schepen zonder grote schade tot stilstand komen.
b) Leg dat uit.
Grote ankers oefenen een grote kracht uit. Een klein schip zou daardoor over een relatief korte afstand tot stilstand komen, met grotere kans op schade. De kleine ankers oefenen een veel kleinere kracht uit.
Zodra de grote ankers beginnen te schuiven, werkt er een nettokracht op het schip van 1,9 ∙ 105 N. Zie figuur 3. Vanaf dat moment begint het grote schip daadwerkelijk af te remmen. De spankracht in de kabel is dan gelijk aan 1,3 ∙ 105 N.
c) Toon dat met een constructie aan.
Uit de constructie volgt de vectorlengte van 2,5 cm. De vector van de nettokracht heeft een lengte van 3,8 cm. Hieruit volgt de schaal 1 cm ≡ 5,0 ∙ 104 N.
Dus 2,5 ∙ 5,0 ∙ 104 = 1,3 ∙ 105 N.
De kabel wordt gemaakt van Dyneema, een sterk soort nylon. De elasticiteitsmodulus van Dyneema is 110 Gpa. De treksterkte is 3,5 ∙ 109 Pa.
Een pink van een mens heeft gemiddeld een diameter van 1,5 cm.
d) Toon met een berekening aan of de kabel om het schip af te remmen dunner of dikker moet zijn dan de dikte van een pink.
$\sigma=\frac{F}{A}\rightarrow A=\frac{F}{\sigma}=\frac{1,3\cdot 10^5}{3,5\cdot 10^9}=3,7\cdot 10^{-5}~\mathrm{m}^2$
Dus:
$A=\pi r^2 \rightarrow r = \sqrt{\frac{3,7\cdot 10^{-5}}{\pi}}=3,4\cdot 10^{-3}~\mathrm{m}$
Dus d = 0,68 cm. Dit is dunner dan een pink!
In figuur 4 staat het (v,t)-diagram van het afremmen van het schip als gevolg van de constante kracht van de twee grote ankers. Op de horizontale as staat de tijd in seconde. De waardes op de as ontbreken nog.
Uitwerking vraag (e)
Er geldt:
$F=ma=1,9\cdot 10^5 = 2,5\cdot 10^6\cdot a\rightarrow a = 7,6\cdot 10^{-2}~\mathrm{ms}^{-2}$
Dus:
$a=\frac{\Delta v}{t}\rightarrow t = \frac{\Delta v}{a} = \frac{5,55}{7,6\cdot 10^{-2}}=73~\mathrm{s}$
In werkelijkheid zullen de ankers zich steeds dieper gaan ingraven in de bodem van de rivier naarmate ze verder worden voortgesleept. De kracht die de ankers op het schip uitoefenen is daardoor niet constant.
f) Schets in figuur 4 de (v,t)-grafiek in deze situatie als de tijd om tot stilstand te komen hetzelfde blijft.
