Een haarvat heeft een diameter van 0,040 mm. Het bloed stroomt er doorheen met een snelheid van 5,1 cm/s.
Vraag a. Bereken hoeveel mL bloed in een etmaal door het
haarvat stroomt.
$r = \tfrac{1}{2}d = \tfrac{1}{2} \cdot 0,\!040 \text{ mm} = 0,\!020 \text{ mm} = 2,\!0 \cdot 10^{-5} \text{ m}$
$A = \pi r^2 = \pi \cdot \left( 2,\!0 \cdot 10^{-5} \right)^2 = 1,\!26 \cdot 10^{ -9} \text{ m}^2$
$Q = A \cdot v = 1,\!26 \cdot 10^{-9} \cdot 0,\!051 = 6,\!4 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3\text{/s}$
$= 6,\!4 \cdot 10^{-11} \cdot 24 \cdot 3600 \text{ m}^3\text{/etmaal} = 5,\!5 \cdot 10^{-6} \text{ m}^3\text{/etmaal}$
$= 5,\!5 \cdot 10^{-3} \text{ L/etmaal} = 5,\!5 \text{ ml/etmaal}$
Het haarvat vernauwt door aderverkalking. De diameter neemt met 50% af. Het debiet blijft gelijk.
Vraag b. Leg uit wat dit voor de bloeddruk betekent.
De stromingsgeleidbaarheid k van een dunner haarvat is kleiner. Volgens:
$Q = k \cdot \Delta p$
neemt bij een gelijk debiet Q de druk ∆p toe als k afneemt. De bloeddruk moet dus toenemen
Vraag c. Beredeneer hoe groot de stroomsnelheid in de vernauwing is.
Als d tweemaal zo klein wordt, wordt ook r tweemaal zo klein en A viermaal zo klein.
Volgens
$Q = A \cdot v$
moet bij gelijkblijvend debiet Q de snelheid dan viermaal zo groot worden:
$v = 4 \cdot 5,\!1 \text{ cm/s} = 20 \text{ cm/s}$
Net zoals de continuïteitswet geldt ook de wet van Poiseuille slechts onder bepaalde voorwaarden. De stroming moet laminair zijn, dat wil zeggen dat er geen
wervelingen in optreden. In grote bloedaders is aan deze voorwaarde niet voldaan, maar in haarvaten wel.
Bovendien moet de vloeistof homogeen zijn. Bloed is niet homogeen. Het bevat immers allerlei bestanddelen, zoals de bloedcellen van dezelfde grootteorde zijn als de diameter van de haarvaten.
Dit verklaart waarom het bloed een grotere viscositeit (5 · 10−3 Pa s) heeft dan het plasma (1 · 10−3 Pa s), de vloeistof, die de bloedcellen meevoert.
Vraag d. Toon met de wet van Poiseuille aan dat de eenheid van viscositeit inderdaad Pa s is.
Er geldt:
$Q = k \cdot \Delta p$ ,
met:
$k = \dfrac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta \cdot l}$
$[k] = \dfrac{[Q]}{[p]} = \text{ m}^3\text{s}^{-1}\text{Pa}^{-1}$
Omschrijven van de tweede formule leidt tot:
$\eta = \dfrac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot k \cdot l}$
dus:
$[\eta] = \dfrac{[r]^4}{[k] \cdot [l]} = \dfrac{\text{m}^4}{\text{m}^3\text{s}^{-1}\text{Pa}^{-1} \cdot \text{m}} = \text{ Pa s}$
Het haarvat is 1,5 mm lang.
Vraag e. Bereken het drukverval over het haarvat als het nog niet is vernauwd.
$k = \dfrac{\pi \cdot r^4}{8 \cdot \eta \cdot l} = \dfrac{\pi \cdot \left( 2,\!0 \cdot 10^{-5} \right)^4}{8 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \cdot 0,\!0015} = 8,\!38 \cdot 10^{-15} \text{ m}^3\text{s}^{-1}\text{Pa}^{-1}$
$\Delta p = \frac{Q}{k} = \dfrac{6,\!4 \cdot 10^{-11}}{8,\!38 \cdot 10^{-15}} = 7,\!6 \cdot 10^3 \text{ Pa}$
Vraag f. Beredeneer hoe groot het drukverval in het haarvat is als het wel is vernauwd.
Als r 2 maal zo klein is, is k 24 = 16 maal zo klein.
∆p is dan 16 maal zo groot:
$16 \cdot 7,\!6 \text{ kPa} = 1,\!2 \cdot 10^5 \text{ Pa}$
Vraag g. Laat aan de hand van je antwoord op f zien dat je het vernauwde haarvat als ‘verstopt’ kunt beschouwen.
Het in f berekende drukverval is veel groter dan de druk die het hart, zelfs bij hoge bloeddruk kan leveren, bijvoorbeeld:
$200 \text{ mm Hg} = 200 \cdot 133 \text{ Pa} = 0,\!26 \cdot 10^5 \text{ Pa}$
Er zal dus geen bloed door het haarvat stromen, of met een veel lager debiet.
