Je oudere broer/zus inhalen (relativiteit)

Onderwerp: Relativiteitstheorie (vwo)

Altijd al ouder willen zijn dan je broer/zus? Geef een ruimtereis cadeau!

Deze opgave is afkomstig uit het hoofdstuk Relativiteit van de methode Systematische Natuurkunde vwo 6 (8e editie) van uitgeverij ThiemeMeulenhoff bv.

Evelien en Gert bouwen samen een raket. Evelien is 27 jaar en Gert is 19 jaar. Evelien reist met de raket naar de ster Altair en keert direct terug naar aarde. Neem aan dat de raket een constante snelheid heeft van 0,80c. Gert blijft achter op de aarde.

Vraag a. Toon aan met behulp van BINAS tabel 32B dat de afstand tot Altair 16,7 lichtjaren is. 

Een lichtjaar is de afstand die licht aflegt in een jaar. Een lichtjaar is dus gelijk aan         365,25 · 24 · 3600 · 2,9979 · 108 = 9,461 · 1015 m.

Volgens BINAS tabel 32B is de afstand tot Altair gelijk aan 15,8 · 1016 m.

Dat is gelijk aan:

$\frac{15,\!8 \cdot 10^{16}}{9,\!461 \cdot 10^{15}} = 16,\!7 \text{ ly}$

Vraag b. Toon aan dat de leeftijd van Gert 61 is wanneer Evelien terugkeert.

Druk je de afstand uit in lichtjaar en de snelheid in delen van lichtsnelheid, dan is de tijd in jaar.

Als je de heen- en terugreis meeneemt:

$t = \frac{x}{v} = \frac{2 \cdot 16,\!7}{0,\!80} = 41,\!75 \text{ jaar}$

Gert is dus 19 + 41,75 = 60,75 (afgerond 61) jaar wanneer Evelien terugkomt.

Vanwege tijdrek duurde de reis van Evelien voor Gert langer dan voor Evelien zelf.

Vraag c. Bereken of Evelien bij terugkomst op aarde jonger is dan haar broer.

In het referentiestelsel van Evelien verloopt de tijd langzamer dan in het referentiestelsel van Gert vanwege tijdrek.

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-0,\!80^2}} = 1,\!666$

$41,\!75 = 1,\!666 \cdot \Delta t_e \rightarrow \Delta t_e = 25,\!1 \text{ jaar}$

Evelien is dus 27 + 25,2 = 52,2 jaar wanneer ze terugkomt. Ze is dus jonger dan Gert.

Dit verschil in tijd volgt uit het het ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van Gert. In figuur 1 zie je het ruimtetijd-diagram van Gert met daarin de heen- en terugreis van Evelien.

SRT_opg27_figuur_1
Figuur 1: Ruimtetijd-diagram van de ruimtereis van Evelien naar Altair.

Gebeurtenis A is het omkeren van Evelien bij de ster Altair. Vlak voordat Evelien aankomt bij Altair, zijn in het referentiestelsel van Evelien de gebeurtenissen A en A’ gelijktijdig. Vlak nadat Evelien is omgekeerd, zijn in haar referentiestelsel gebeurtenissen A en A’’ gelijktijdig.

Vraag d. Leg uit waarom na het omkeren de gebeurtenissen A en A’’ gelijktijdig zijn in het stelsel van Evelien. Construeer daartoe de ct’’-as die overeenkomt met de terugreis van Evelien.

SRT_opg27_figuur_2

Zie bovenstaande figuur.

De ct’’-as van Evelien valt samen met de lijn met bijschrift Evelien.

De hoek tussen x’’-as van Evelien en de x-as van Gert is even groot als de hoek tussen      de ct’’-as van Evelien en de ct-as van Gert.

De hoek tussen x’’-as van Evelien en de x-as van Gert komt overeen met hoek α.

De hoek tussen de ct’’-as van Evelien en de ct-as van Gert komt overeen met hoek β.

 De x’’-as van Evelien loopt dus door de punten A en A’’

De gebeurtenissen A en A’’ liggen op de x’’-as van Evelien. De gebeurtenissen A en A’’ zijn dus gelijktijdig in het stelsel van Evelien.

Vraag e. Neem figuur 1 over en geef op de ct-as het verschil in reistijd aan dat Gert en Evelien waarnemen.

SRT_opg27_figuur_3